FG contient moitié moins de degrés, que l'arc B B. Pareillement l'angle E A F, dont les deux côtés ne comprennent pas le centre, a pour mefure la moitié de l'arc E B compris entre fes côtés; car les angles EAG, BAB qui comprennent chacun le centre entre leurs côtés, ont pour me fure, comme on vient de le démontier, l'unED B, & l'autre BB: donc en fouftrayant de la mesure de l'angle EA G celle de l'angle BAB, il restera à l'angle E A F pour mefure E B.

267. L'angle du fegment DAB a pour mesure la Fig. 136 moitié de l'arc A E B, compris entre fes côtés DA, BA, fous-tendu par la corde B A; car foit tiré le diamétre AE, l'angle DA E étant droit (254), a pour mefure la moitié de la demi circonférence A G E (261 ̧ & 255), & l'angle E A B la moitié de l'arc E B (266): donc l'angle total D A B a pour mesure A E B.

Les angles BAC, BAD ayant tous enfemble, pour mefure 180°, ou la demi-circonférence (263), & l'angle D A B ayant pour mesure AEB, il refte à l'angle C A B pour mefure A B.

268. Il fuit de là, 1°. qu'un angle infcrit eft appuyé fur un arc moindre que la demi circonférence, s'il eft aigu; fur la demi- irconf'rence, ou fur les extrémités du diamétre, s'il eft droit ; fur un arc plus grand que la demicirconference, s'il eft obtus; & réciproquement.

269. 2°. Que tous les angles infcrits, appuyés fur le même arc ou fur des arcs égaux, font égaux.

*

270. Tout angle B A S formé à la circonference par Fig. 11. le concours d'une corde AB & d'une fecame SE, a pour mefure la moitié des arcs A B, A E fous tendu par la corde BA, & par la partie intérieure A E de la fecante SE; car les angles BAS, BAE ayant pour mesure, pris enfemble, la demi circonférence (263), & l'angle infcrit E A B ayant pour mefure E B (266), il reste à l'angle B A S pour mesure A B+ A E.

Fig. 12.

Fig. 13.

*

271. Tout angle GIE, dont la pointe fe trouve entre le centre & la circonférence, a pour mesure la moitié des arcs GE, OA compris entre fes côtés prolongés de part

d'autre du point de concours I jufqu'à la circonference. Joignez les points A, E par la droite A E, l'angle GIE fe trouvera extérieur au triangle AIE, & par conféquent à la fomme des intérieurs I AE, IEA (237), dont l'un a pour mefure G E, l'autre OA (266),

Donc, &c.

*

272. Tout angle dont la pointe A eft hors d'un cercle, foit qu'il foit formé par deux fécantes, ou par une secante & par une tangente, ou par deux tangentes, a pour mefure la moitié de l'arc concave fur lequel il eft appuyé, moins la moitié de l'arc convexe coupé ou intercepté par fes côtés.

1°. L'angle DAE a pour mefure DE- IO. Soit tirée la corde D O, l'angle D O E extérieur au triangle DAO est égal à la fomme des intérieurs D A Ŏ, A DO: donc l'un des intérieurs D A O est égal à l'extérieur DOE moins l'intérieur A DO, dont le premier a pour mesure DE, le fecond IO (266).

Donc, &c.

2o. L'angle BAE a pour mefure BE — BO. Soit tirée la corde B O dans le triangle A OB, l'angle intérieur B A O est égal à l'extérieur BO E moins l'autre intérieur A B O, dont le premier a pour mesure BE (266), le second BO (267). Donc, &c. Donc 3. l'angle total B A B a pour mesure BEB BOB.

2

De quelques autres propriétés du cercle.

THEOREMES.

273. On peut faire passer une circonférence par trois ON N points A, B, C, quelle que foit leur fituation, pourvû Fig. 141 qu'ils ne foient pas en ligne droite, ou, ce qui eft la même chofe, par les trois angles d'un triangle quelconque ABC. Il ne faut que joindre les points donnés par les droites AB, AC, BC, couper en deux également deux de ces lignes par les perpendiculaires (215) OD, OE, leur point de concours O fera le centre du cercle cherché; car les trois lignes OB, OA, OC font égales, puifque le point I de la perpendiculaire O D étant, par la conftruction, également éloigné de A & de B, le point O l'eft auffi néceffairement (207), & que, pour la même raifon, le point O eft auffi éloigné de C que de A.

274. Dans le même cercle, ou dans des cercles égaux ; des cordes égales AE, AD, foutendent des arcs égaux, Fig. 19 & réciproquement ; car fi l'on tire les rayons CE, CD, les triangles A CE, ACD, ayant tous leurs côtés homologues égaux, ont auffi leurs angles homologues ACE, ACD égaux (239); les arcs A E, AD, qui en font la mesure, le font donc auffi; & réciproquement, fi les arcs AE, AD font égaux, les angles ACE, ACD, dont ils font la mesure, le font auffi; & par conféquent les triangles A CE, ACD, ayant deux côtés homologues égaux autour d'un angle égal, font égaux en tout (241): donc les cordes AE, A D font égales. Des cordes inégales foutendent des arcs inégaux, réciproquement, puifque fi elles foutendoient

Fig. 14.

Fig. 15.

des arcs égaux, elles feroient égales, & réciproque

ment.

275. Il fuit de là que dans tout triangle, des angles égaux ont des bafes égales, & réciproquement des côtés égaux font les bases d'angles égaux; car li l'on fait paffer une circonférence de cercle par fes trois angles, ( ce qui eft toujours poffible (273) ), des angles égaux auront pour bases des cordes d'arcs égaux, & par conféquent égales (274) ; & les côtés égaux feront les cordes d'arcs égaux, & par conféquent les bafes d'angles égaux (269). Pour la même raifon le plus grand angle a la plus grande bafe, le plus petit a la plus petite, & réciproquement.

276. Donc 1°. dans un triangle ifocele les angles oppofés aux côtés égaux font égaux: 2°. fi un triangle a deux angles égaux, il eft ifocele: 3°. un triangle équilatéral a les trois angles égaux, & réciproquement.

* 277. De deux triangles BAC, BOC qui ont la même baf: BC, & dont l'un BOC eft tout entier au dedans de l'autre, le plus petit a l'angle O, oppofé à la base commune, plus grand que l'angle A du plus grand triangle oppofe à la même bafe. Car fi l'on fait paffer une circonférence de cercle par les trois angles du plus grand triangle, l'angle A fera inferit, & l'angle O fera dans le cercle. Soit donc qu'il foit au centre, entre le centre & la circonférence, il aura pour mefure un plus grand arc que l'angle A (259, 266, 271).

ou

278. Une droite CD qui a deux de ces conditions, être perpendiculaire à une corde AB, la couper en deux également, & paffer par le centre C, a nécessairement la troifiéme. Ce théorême a trois parties.

1o. Le rayon C D étant perpendiculaire à la corde A B, la coupe en deux également; car le point C étant également éloigné de A & de B (253), le point O le fera auffi (207).

2o. Le rayon C D coupant en deux également la corde A B, lui eft perpendiculaire; car dans ce cas il a deux points O, C également éloignés des mêmes points A, B de la corde AB; le premier, par la fuppofition, & le fecond, parce qu'il eft le centre du cercle: donc (209) ce rayon eft perpendiculaire à la corde A B.

3o. Si la ligne CD eft perpendiculaire à la corde A B, & la coupe en deux également, elle paffe par le centre; car le point O de cette perpendiculaire étant également éloigné des points A, B, par la fuppofition, chacun de fes autres points le fera auffi (207): donc le centre étant également éloigné des mêmes points, il fe trouvera dans la droite C D fuffifamment prolongée.

279. Tout rayon perpendiculaire à une corde, coupe en deux également l'arc foutendu par cette corde; car le point C du rayon CD étant auffi éloigné de A que de B (253), le point Dle fera auffi (207): donc les cordes DA, DB font égales, & par conféquent leurs arcs font auffi égaux (274).

* 280. Deux cordes AB, DE, qui fe croisent dans Fig. 16j tout autre point que le centre C, ne peuvent fe couper en deux également; car fi cela étoit, un rayon CI, qui pafferoit par leur point d'interfection, feroit perpendiculaire à ces deux cordes (278), puifqu'il couperoit chacune en deux également; & par conféquent du point O on pourroit élever fur le rayon CI deux perpendiculaires O B, OE, ce qui eft impoffible (201). 281. Les arcs de cercle AG, DB, on GO, DO Fig. 17 compris entre les paralleles A B, G Don GD, EF, font égaux. Soit le rayon CO perpendiculaire à toutes ces paralleles; je dis 1°. que l'arc G O D eft coupé en deux également par le rayon CO (279), ou que GO= OD: 2°. que pour la même raifon A O OB, & par conféquent AGD B.

282. La tangente O P ne touche le cercle qu'en un feul xjg. 107