LEÇON QUATRIE’ME.

DES

POLYGONES.

Propriété des polygones en général.

N

DEFINITIONS.

297. On appelle en général polygone une figure ON rectiligne à plufieurs côtés. On lui donne le nom particulier de triangle, quadrilatere, pentagone, exagone, eptagone, octogone, ennéagone, décagone, undécagone, dodecagone, &c. felon qu'elle a 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, &c. côtés.

298. Le polygone eft appellé fymmétrique, s'il a les Fig. 26. côtés oppofés paralleles & égaux, quoique fes angles ne foient pas égaux entr'eux; régulier, fi tous les Fig. 27. côtés font égaux entr'eux; irrégulier, s'il n'eft ni 28. 29. régulier ni fymmétrique. Voyez la figure 33.

ou 25.

299. Un quadrilatere régulier eft un quarré. S'il Fig. 28. n'eft que fymmétrique, c'eft un parallelogramme. Le parallelogramme dont tous les angles font droits, s'appelle plus proprement rectangle ; enfin un quadrilatere irrégulier eft un trapeze. Une droite qui traver- Fig. 37. fe un quadrilatere, en allant d'un angle à l'autre, s'appelle diagonale. Une droite tirée du point d'interfection de plufieurs diagonales d'un polygone régulier perpendiculairement à un des côtés, eft appellée l'apotheme du polygone, & le point d'interfection de de ces diagonales eft le centre du polygone.

28, 29.

300. Une figure eft appellée infcrite, fi tous fes angles font infcrits au même cercle, & circonfcrite, fi tous fes côtés font des tangentes du même cercle.

THEOREM ES.

Fig. 24. 301. La fomme des angles d'un polygone quelcon26, 27, que, vaut autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés moins quatre angles droits; car fi on le réduit en autant de triangles qu'il a de côtés, en tirant d'un point O, placé au dedans de ce polygone, des lignes à tous fes angles, la fomme des angles de tous ces triangles vaut autant de fois deux angles droits qu'il y a de triangles ou de côtés dans le polygone; or fi de cette fomme on retranche quatre angles droits formés autour du point O, le refte eft les angles du polygone: donc, &c.

*

Fig. 26. 302. Les fupplémens d'un polygone quelconque ABECDF, c'eft-à-dire, les angles formés par chaque côté du polygone, & le prolongement de l'autre, valent pris enfemble quatre angles droits; car chacun de ces angles vaut avec l'intérieur fon voifia deux angles droits : donc tous les angles du polygone avec leurs fupplémens, valent autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés; or fi de cette fomme on fouftrait quatre angles droits, le refte eft la valeur des angles du polygone (301): donc les fupplémens pris enfemble valent quatre angles droits.

Fig. 24. 303.

Propriétés des polygones fymmétriques.

LA

THEOREME S.

La diagonale AC d'un quadrilatere ABCD, " 25. dont les côtés oppofés font égaux, le divife en deux trian

gles ABC, ADC égaux en tout (239); puifque, outre le côté commun, ils ont par la fuppofition les deux autres côtés égaux chacun à chacun.

304. Tout quadrilatere dont les côtés oppofes font égaux à ces mêmes côtés paralleles, & réciproquement; car les triangles A B C, ADC, étant égaux. en tout (303), leurs angles homologues BAC, ACD font égaux, & ces angles étant alternes, les lignes AB, DC font paralleles (229). Pour la même raifon les côtés AD, BC le font auffi; réciproquement i les côtés AD, BC font paralleles, ils font égaux, & en général des droites paralleles tirées entre les mêmes paralleles, ou entre des paralleles également diftantes, font égales; car fi on tire les perpendiculaires AE, BF, les triangles AED, BFC feront égaux en tout (240), à caufe des angles droits E, F, des angles correfpondans ADE, BCF & des lignes égales A E, BF (222).

305. Les parallelogrammes A B CD, qui ont des bafes égales DC, & des hauteurs égales, ou, ce ce qui est la même chofe, qui font compris entre les mêmes paralleles, font égaux en furface; cela eft évident, 1°. pour deux rectangles ABCD, ABFE de même base & de même hauteur, puifqu'en les appliquant l'un à l'autre, ils fe confondront néceffairement.

2o. Pour un rectangle & un parallelogramme; car fi des angles A, B, du parallelogramme A B CD, on abaiffe des perpendiculaires AE, BF, les triangles AED, BFC feront égaux en tout, comme on vient de le voir (304): donc DE CF; donc EF DC: donc le rectangle ABCD eft égal au rectangle ABFE, qui eft lui-même égal au parallelogramme ABCD, puifque les triangles ADE, BFC font égaux en tout.

3°. Pour deux parallelogrammes, puifqu'ils font

Fig. 24.

Fig. 26.

tous les deux égaux au même rectangle.

306. Des triangles BCD, BCD de même bafe DC, & de même hauteur, font égaux en furface; car ils font les moitiés (33) de parallelogrammes de même base & de même hauteur égaux entr'eux (305)..

*

307. Des diagonales AC, BD &c. qui fe croifent dans un polygone fymmétrique, 1°. forment des triangles A OB, DOC oppofés par la pointe, égaux en tout (204); car le côté A BDC (298), & les angles O AB, OBA font égaux à leurs alternes OCD, ODC (225) chacun à chacun; il en est de même des autres triangles.

20. S'y coupent en parties égales; car ces parties forment les côtés homologues de triangles égaux en tout.

3°. Chacune partage le polygone en deux parties égales & femblables, puifque chaque partie eft compofée d'un même nombre de triangles, dont les oppofés par la pointe font égaux en tout & femblable

ment pofés.

* 308. Pareillement une droite GI, qui passe par le centre d'un parallelogramme, forme avec les diagonales, des triangles GOB, DOI oppofes par la pointe égaux en tout, à caufe des angles GBO, BGO égaux à leurs alternes ODI, OID chacun à chacun, & du côté BODO ( 307 ).

*

309. On peut dire encore pour les mêmes raifons des droites non diagonales qui fe croisent au centre d'un polygone fymmétrique, ce que nous avons dit des diagonales même dans le n°. 307.

Fig. 27. 310.

Propriétés des polygones réguliers.

TOUTES les lignes AO, BO, EO, qui di28.29. vifent en deux également les angles d'un polygone régu

lier, vont aboutir au même point O au dedans de ce polygone; car les lignes qui divifent en deux également les angles A, B, E, forment deux triangles égaux en tout (240), à caufe des côtés égaux AB, BE, & des angles adjacens à ces côtés, qui font les moitiés d'angles égaux; mais la ligne qui divife l'angle B doit être un côté commun aux deux triangles: elle doit donc aboutir au point de concours O des deux autres lignes AO, EO; on peut aifément appliquer cette démonftration aux autres lignes.

+

311. Si ayant divife en deux également deux angles A, B, d'un polygone régulier par deux droites AO, BO, on tire de leur point de concours O des lignes aux autres angles, elles les diviferont tous en deux également ; car fi on eut commencé par divifer en deux également ces autres angles par des droites, elles auroient abouti au point O (310): donc, &c.

312. On peut réduire un polygone régulier en au tant de triangles ifocelles égaux qu'il a de côtés; car en divifant deux angles A, B en deux également par deux droites AO, BO, & en tirant d'autres. droites aux autres angles du point de concours O; on divife le polygone, 1°. en triangles égaux en tout, comme on l'a vu ci-deffus (310); 2°. en triangles ifocelles (276), puifque tous leurs angles adjacens aux côtés du polygone font les moitiés (312) d'angles égaux.

le

313. Tout polygone régulier eft infcriptible & cir confcriptible au cercle. 10. Pour l'infcrire, il ne faut que divifer en deux également deux angles A, B par les lignes AO, BO, prendre l'une d'elles pour rayon, & le point de concours O pour centre, cercle paffera par les autres angles E, C, &c. puifque les lignes AO, BO, EO, CO, &c. étant les côtés de triangles ifocelles égaux en tout (312) font égales. H iij