2o, Pour le circonfcrire, il faut prendre un apo, thême O G pour rayon, & le centre du polygone pour centre du cercle qu'on veut décrire, tous les autres côtés du polygone en feront des tangentes; car tous les autres apothêmes OR, OI, &c. étant les hauteurs de triangles ifocelles égaux en tout, font égaux ; le cercle dont il s'agit paffera donc par leurs extrêmités, & les côtés du polygone étant perpendicu→ laires aux apothêmes, feront des tangentes du cercle (254) & * 314. Un polygone régulier d'un nombre pair de côtés Fig. 29. A BECDF eft un polygone fymmétrique. Soit ce polygone infcrit dans nn cercle, les centres O du cercle & du polygone feront confondus; les triangles, formés par les côtés du polygone & les rayons du cercle, comme AOB, DOC, ayant tous leurs côtés homologues égaux, feront égaux en tout (239), & les angles OCD, OA B feront par conféquent égaux. Cela pofé, dans les polygones réguliers d'un nombre pair de côtés les rayons oppofés OA, OC ne font qu'une droite; car un diametre qui partiroit de l'angle A, partageant en deux également la circonférence du cercle, & par conféquent le contour du polygone, aboutiroit à l'an gle C, laiffant trois côtés de part & d'autre ; donc les angles égaux O AB, OCD font alternes, & par conféquent (229) les côtés A B, DC font paralleles. Il fuit de là que l'on peut appliquer aux polygones réguliers d'un nombre pair de côtés tout ce que nous avons dit dans les n°. 307, 308 & 309 des polygones fymmétriques. 315. Le côté d'un palygone régulier eft la corde d'un arc de cercle égal à 360° divifés par le nombre des côtés du polygone; car le polygone étant infcrit, fes côtés feront les cordes d'arcs égaux (274): donc le côté du pentagone foutendra la cinquième partie de la circons férence, ou 360°; le côté de l'exagone en foutendra la fixième partie, ou 360°. &c. 316. L'angle au centre d'un polygone régulier eft de 360°, divifes par le nombre des côtés de ce polygone; car il a pour mefure l'arc foutendu par un des côtés du polygone. 290 من 317. L'angle à la circonférence d'un polygone régulier eft le fupplément de l'angle au centre; car dans le triangle A OB, les deux angles B AO, A BO font fupplé- Fig. 28. ment de l'angle au centre A OB (235) ; & ces deux angles pris ensemble font égaux à l'angle A ou B rout entier, puifque BAO ABOE BO: donc l'an gle d'un triangle régulier eft de 60°, celui d'un quarré de 90°, celui d'un pentagone régulier de 108°, celui d'un exagone régulier de 120°, &c. 318. Le côté de l'exagone régulier eft égal au rayon du cercle auquel il eft inferit; car le triangle A OB eft Fig. 29. équilatéral (276), puifque tous fes angles font égaux; en effet, l'angle au centre A OB eft de 360°. = 60 (316): donc les deux autres, pris ensemble, font de 120° (233); & comme ils font égaux (312), chacun vaut 60°; donc A B = AO ou BO. 319. Le cercle eft un polygone régulier d'une infinité de côtés infiniment petits, dont le rayon eft l'apothême; car, plus un polygone régulier infcrit au cercle a de côtés, plus fon contour approche de la circonférence du cercle, & plus fon apothême approche du rayon : donc fi le polygone régulier a une infinité de côtés infiniment petits, fon contour fe confondra avec la circonférence, & fon apothême avec le rayon du même cercle. 320. Parmi les propriétés du polygone régulier, il en eft qui conviennent au triangle, quoique irrégulier, par exemple: tout triangle eft circonferiptible an * Fig. 27. par cercle. Divifez en deux également fes deux angles B, E, deux droites B O, EO; du point de concours O, tirez des perpendiculaires OI, OR, OG fur les trois côtés du triangle, elles feront les rayons du cercle cherché; car I. elles font égales, puifque les triangles OIE, ORE font égaux en tout ( 240), à cause des angles droits I, R, des angles I EO, REO égaux par la fuppofition, & du côté commun E O. Pour la même railon les triangles RO B, GOB font égaux en tour; & par conféquent OIOROG; mais d'ailleurs les côtés du triangle étant perpendiculaires à ces lignes, feront des tangentes du cercle décrit (254). Donc, &c. * 321. Les droites AO, BO, EO qui divifent en deux également les trois angles d'un triangle A B E, vont abentir au même point O au dedans de ce triangle; car fi ayant divifé en deux également les angles B, E par les droites BO, EO, on tire de leur point de concours O une ligne au troifiéme angle, elle le divifera en deux également, puifque les deux triangles A OG, AOI font égaux en tout (239), à caufe de O G= OI (319), de AGAI(386), & du côté commun AO: donc fi on eût divifé en deux également l'angle A par une droite, elle auroit abouti au point O. Quoique le triangle A B E paroiffe régulier à l'œil, on voit bien que cette démonftration auroit lieu, quand bien même il feroit irrégulier. PROBLEME S. 322. Pour infcrire dans un cercle donné un exagone Fig 29. régulier A BECDF, portez fix fois le rayon A O du cercle fur la circonférence (317). Fig. 27. 323. Pour inferire un triangle équilatéral ABE, tirez trois cordes, dont chacune foutende le même arc que foutendroient deux côtés de l'exagone, & pour infcrire un polygone de 12, 24, 48, &c. côtés, il ne faut que divifer l'arc foutendu par le côté de l'exagone en 2, 4, 8, &c. parties égales (291). 324. Pour infcrire un quarré A BED dans un cer- Fig. 28à cle donné, menez deux diametres A E, BD perpendiculaires l'un à l'autre, & joignez leurs extrémités par quatre cordes; car chacune foutendant le quart du cercle, elles feront égales (274); & chaque angle étant appuyé fur les extrémités d'un diametre, fera droit (268) donc la figure inferite fera un quarré (299). En divifant enfuite chaque quart de cercle en 2, 4, 8, &c. parties égales, on pourra infcrire un polygone régulier de 8, 16, 32, &c. côtés. 1 * 325. Pour circonfcrire un polygone régulier, par Fig. 291 exemple un exagone à un cercle donné, cherchez le milieu G de l'arc PQ, qui feroit foutendu par le côté de l'exagone infcrit au cercle donné; par le milieu & par les extrémités de cet arc, menez du centre O le rayon OG & les indéfinies OA, OB; menez une tangente au point G (295), qui coupera les indéfinies aux points A, B, & de l'intervalle A O ou BO, décrivez le cercle A BE CDF, la ligne A B fera un côté de l'exagone infcrit au grand cercle, & circonfcrit au petit; car 1°. les deux triangles AOG, BOG étant égaux en tout, à caufe qu'ils font rectangles en G, que les angles. A OG, BOG font égaux par la conftruc tion, & qu'ils ont un côté commun GO, les côtés AO,BO font égaux, c'eft-à-dire que le triangle A OB eft ifocele. 2°. Il est équilatéral, comme on l'a vu cideffus (317): donc A B eft le côté d'un exagone infcrit au grand cercle ABE CDF (317). En continuant d'infcrire cet exagone à ce grand cercle, on le circonfcrita en même tems au petit; car cet exagone étant fuppofé infcrit au grand cercle, fi on vouloit décrire un cercle auquel il fût circonfcrit, on prendroit O G pour rayon, & O pour centre (317). LEÇON CINQUIEME. DEFINITIONS. 326. Nous avons dit plus haut ( 232 ) que deux triangles font femblables lorfque tous leurs angles Fig. 33 homologues font égaux; mais afin que deux figures X, x d'un plus grand nombre de côtés foient femblables, it faut, outre l'égalité des angles homologues, qu'elles ayent un même nombre de côtés, & leurs côtés homologues proportionnels. 2 327. On appelle côtés homologues, ceux qui fe répondent lorfque les deux figures font fituées de la imême maniere par rapport à nous, tels que font les côtés A B, ab, ou AI, ai, &c. ; angles homologues ceux qui font formés par des côtés homologues, comme A, a; points homologues, ceux qui font placés com me F, f dans des côtés homologues, de façon que des droites A F, af tirées à ces points des angles homologues A, a faffent du même côté des angles égaux AFE, afe, ou A FG, afg, ou des points placés au dedans de deux figures, comme S, s, tels que des lignes SG,SF, & sg, sf tirées de ces points à d'autres points homologues GF & gf, faffent des triangles S GF, sgf femblables. On appelle enfin dimenfions homologues des lignes qui ne paffent au dedans des figures femblables que par des points homologues. Nous verrons bientôt (340) qu'il fuffit de fçavoir que |