LEÇON SIXIE ME.

DES PLANS.

DE LA MESURE DES PLANS.

DEFINITIONS.

355. UN plan P eft une furface telle qu'une ligne Fig. 38. droite D A couchée deffus, la touche toujours par tous fes points, quoiqu'on la roule en tout fens, enforte qu'elle acquiere fucceffivement les pofitions E A, CA, &c.

356. On appelle plan de deux lignes BD, CD la Fig. 347 trace A CDB d'une de ces droites CD qui coule fur l'autre D B, en lui demeurant toujours perpendiculaire. On l'appelle auffi rectangle de deux lignes, lorfqu'elles font inégales, parce qu'en effet du mouvement de CD fur D B il réfulte un rectangle. On l'appelle encore le produit de deux lignes, parce qu'en effet le plan ACDB n'est autre chose que la ligne CD, prife autant de fois qu'il y a de points dans la ligne D B,

357. Le plan ou le produit E CDG de deux lignes égales GD, CD, s'appelle le quarré d'une de ces deux lignes CD, ou GD, qu'on nomme pouce quarré, pied quarré, toife quarrée, c, felon que la ligne C D eft d'un pied, d'un pouce, ou d'une toife de longueur. En effet la trace de C D qui coule fur DG CD, en lui demeurant toujours perpendiculaire, eft une

figure dont tous les angles font droits & les côtés égaux

chacun à CD.

Les quarrés font la mefure des furfaces; enforte qu'on a affez déterminé l'étendue d'un champ, d'un enclos, d'un lac, &c. lorfqu'on a trouvé que fa furface est égale à celle d'un certain nombre de toifes quarrées, ou de pieds quarrés.

THEOREME S.

358. Le produit de deux lignes divifées en mêmes mefures quelconques exprime ces mêmes mesures quarrées; ainfi fi C D eft de quatre pieds & D B de huit pieds le produit de C D par DB, ou le rectangle AC BD contiendra 4 x 8, ou 32 pieds quarrés; car G par les points de divifion de la ligne CD on mene à la ligne A B des droites paralleles à DB, & par conféquent perpendiculaires à CD, le rectangle A C D B contiendra quatre rectangles, qui auront chacun évidemment un pied de hauteur: & fi par les points de divifion de la ligne DB, on éleve des droites paralleles à CD, & par conféquent perpendiculaires à DB, chaque petit rectangle fera partagé en huit parties rectangulaires, qui auront chacune un pied de largeur, & qui feront par conféquent des pieds quarrés: or dans quatre rectangles, compofés chacun de huit pieds quarrés, il y en a 32: donc le produit d'une ligne de quatre pieds par une ligne de huit pieds contient 32 pieds quarrés. Donc, &c.

359. Un parallelogramme quelconque eft égal au produit de fa bafe par fa hauteur: cela eft évident pour un rectangle quelconque AC DB, qui n'eft autre chofe que la hauteur CD prife autant de fois qu'il y a de points dans la bafe BD; & tout parallelogramme étant égal à un rectangle de même bafe & de inême hauteur (305), a la même mefure que ce rectangle.

*

360. Scholie. Le parallelogramme A B C D n'eft au- Fig. 24. tre chose que le côté BC, pris autant de fois qu'il y a on 25. de points dans la bafe CD, & cependant il n'eft pas égal au produit de fa bafe par la longueur de ce côté, mais feulement par la hauteur BF, ce qui femble d'abord un paradoxe; mais il faut obferver que le côté BC du parallelogramme A B C.D eft lui même un parallelogramme infiniment mince, de même base & de même hauteur que la perpendiculaire B F, qui eft un rectangle infiniment mince ; & par conféquent ces deux lignes BC, B F ont une égale furface infiniment petite (305) quoiqu'elles foient inégales en longueur, & de là vient qu'étant prifes toutes les deux autant de fois qu'il y a de points dans la base DC, ou dans fon égale FE, elles forment des efpaces égaux ABCD, ABFE, au lieu que le produit de la bafe D C par une ligne de même longueur que CB, & qui fût perpendiculaire à cette bafe, feroit évidemment un rectangle plus grand que le parallelogramime ABCD, puifqu'ayant la même bafe DC, il auroit plus de hauteur.

la

361. Un triangle quelconque eft égal au produit de fa bafe par la moitié de fa hauteur, ou de fa hauteur par moitié de fa bafe, ou enfin à la moitié du produit de fa base par fa hauteur: ( ces trois façons de parler revien nent au même, puisqu'en exprimant la bafe pat b, la hauteur par b', il n'y a pas de différence entre ces trois expreffions, bxxk,), puifqu'il eft la moitié d'un parallelogramme de même base & de même hauteur (303).

bh

362. On polygone régulier eft égal au produit de l'apothême par la moitié de fon contour; car on peut le réduire en triangles ifoceles égaux en tout (312), dont la hauteur commune eft l'apothême, & la fomme des bafes eft le contour du polygone; or chacun d'eux

étant égal au produit

de l'apothême h, par la moi

bb

ție – de la base b (362), la somme + +
bbbb bb, &c.

&c, ou

2

2

de tous ces triangles eft

égale au produit de l'apothême b, par la fomme b + b + b, &c.

2

de la moitié des bafes, c'eft-à-dire

par la moitié du contour.

363. La furface d'un cercle est égale au produit du rayon par la moitié de la circonférence (362), puifque de cercle eft un polygone régulier dont le rayon eft l'apothame (319).

régulier est égal à

qui

364. Donc le polygoneme du polygone, & pour base

le contour entier (361 & 362), & le cercle eft égal à un triangle qui auroit pour hauteur le rayon & la circonférence pour bafe (361 & 363 ).

Fig. 37. * 365. La (urface d'un trapeze C KHE qui a deux côtés CK, HE paralleles, eft égale au produit de la ligne DI, qui tient le milieu entre ces deux côtés, par la ligne RG, perpendiculaire à ces mêmes côtés. Soit tirée par le point I, la parallele ZP au côté CE, le parallelogramme CEPZ, elt égal au trapeze CEH K; car le pentigone CEPiK eft commun à l'un & à l'autre, & les deux triangles K IZ, HIP, dont l'un appartient au prallelogramme, l'autre au trapeze, font égaux en tout (241), à caufe de I H=IK, par la fuppofition de IPIZ, (puifque D I divife en deux également CE ou ZP) & des angles oppofés par la pointe en I; er le parallelogramme CEPZ-EPXRG (359) ou (304) DIXRG: donc le trapeze CEHK DIXRG.

DU RAPPORT DES SURFACES, THEOREMES.

366. Les furfaces S,s de deux parallelogrammes font en raifon compofée de leurs bafes B, b, & de leurs hauteurs H, h; car la raison composée de la raison des

H

BH

B

b

bafes, & de celle des hauteurs eft (122) ; or

bh

S::: BH: bb, puifque SBH & s = bb (349), 2367. Deux triangles quelconques ont auffi des furfaces S, s, qui font en raifon compofée de leurs bafes B, b de leurs hauteurs H, h; car puifque S= &

A

вн

bb

BH

2

$ (361) on a S;s :: BH;h, ou bien (116)

bb
2

S: :: BH: bh.

368. Les furfaces S, s de deux parallelogrammes ou de deux triangles de même bafe B, font comme leurs hauteurs H, h; & fi leur hauteur Heft égale, leurs Surfaces font comme les bafes B, b, car puifque (366) S:::BH:Bh, dans le premier cas, & que dans le fecond Ss::BH:bH, on a dividendo (131)

dans le premier cas Ss::

вн Bh

B

B

ou S:s::H:b;

ΒΗ ьн

ou S:s::

H

H

& dans le fecond cas Ss:: B: b.

369. Si deux parallelogrammes ou deux triangles A, B. ont des bafes en raison inverse des hauteurs, leurs furfaces font égales; car puifque la base de A eft à la bafe de B comme la hauteur de B eft à la hauteur de A, la furface de A qui eft le produit des extrêmes, est égale à la furface de B qui eft le produit des moyens.