l'autre, dites (371) S:s :: A B2: a b2. Connoiffant dans cette proportion les trois premiers termes, je connois (137) le dernier par la régle de trois, & fa racine a b qui eft un côté de x, homologue au côté AB; maintenant pour connoître en nombres la longueur des côtés bc, cd, &c. faites fucceffivement ces propor tions A B : ab:: BC:bc, BC:bc:: CD: cd, &c. dont les derniers termes font connus par la régle de trois. 388. Etant données deux dimenfions homologues quelconques AF, af, ou deux côtés homologues AB, ab de deux figures femblables, avec la furface S de l'une X, pour trouver la furfaces de l'autrex, dites A F2: af:: S:s (371) ou A Bab: S: s. *389. Etant donnés tous les côtés d'une figure X, pour trouver les lignes qui doivent former les côtés d'un autre figure x femblable à la premiere, & pour la tracer, en Suppofant qu'un de fes côtés ab eft donné, dites A B: ab:: BC:bc, BC:bc:: CD: cd, &c. La méthode que nous avons donné de trouver une quatriéme proportionnelle (349) à trois lignes données, fera fucceffivement trouver celles qui forment le quatrième terme de ces proportions, après quoi il fera aifé de tracer la figure x, en faifant faire par fes côtés des angles égaux ceux que comprennent les côtés homologues de X. * 390. Etant donnés tous les côtés d'une figure, pour en tracer une femblable, dont on ne connoît aucun côté & dont la furface ait avec la furface de la premiere un rapport tel qu'on voudra, par exemple comme 2 eft à 3. 1. Si la figure donnée eft un quarré B E, cherchez une ligne qui foit au côté connu B ̊C, comme 2 est à 3 (352); & foit cette ligne égale à BO; cherchez enfuite une moyenne proportionnelle BA entre BC & BO, elle fera un côté du quarré cherché ; car fi on tire la perpendiculaire O G aux côtés BC, DE, le Fig. 35 rectangle P & le quarré B E de même base B D, fez ront entr'eux comme leurs hauteurs (367) BO, BC, ou comme 2 eft à 3; or le quarré de B A ou M eft égal (127) à BOX BC, ou BD, c'est-à-dire au rectangle P (359); done le quarré M eft au quarré B E eft à 3. comme 2. Si la figure donnée eût été toute autre qu'un quarré, & fi B C en eût été un côté, il auroit fallu opérer de même, & la figure femblable formée sur BA auroit été à la figure donnée comme 2 eft à 3, parce que les figures femblables font entr'elles comme les quarrés de leurs côtés homologues. La ligne B A une fois trouvée, on peut tracer la figure entiere dont elle eft un côté, par la méthode du n°. 389. * 391. Etant données plufieurs figures femblables, de forte qu'on connoiffe tous les côtés de l'une d'entr'elles, & de plus un côté ou une dimenfion homologue dans chaque autre, pour trouver une figure qui les égale toutes & qui leur foit femblable. 1. Si on ne doit trouver la fomme que de deux figures, dont les côtés homologues ou les dimenfions homologues font AB, AC, faites faire à ces dimenfions un angle droit BAC, & par leurs extrémités B, C, tirez BC; ce fera le côté ou la dimension ho mologue de la figure cherchée ( 376 ). 2o. Si on eût donné trois figures dont les côtés ou les dimenfions homologues euffent été A B, AC, CE; après avoir trouvé la dimenfion homologue B C de la fomme des deux premieres, il auroit fallu en former avec la dimension C E un angle droit, & tirer une ligne de B en E, ç'auroit été la dimenfion homologue de la figure cherchée (376); & cette dimension étant une fois trouvée, il eût été aisé ( 389) de tracer la figure entiere femblable à celle dont tous les côtés font fuppofés connus de même que les angles. 392. Enfin pour trouver une figure multiple d'une autre & qui lui foit femblable. 19. Si l'on demande une figure double de la donnée, faites un triangle rectangle ifocele, dont chacun des côtés égaux foit un même côté ou une même dimenfion de la figure donnée; la base de ce triangle fera le côté ou la dimension homologue d'une figure double de la donnée ( 377 ). 2°. Si on demande une figure triple de la donnée, il faudra d'abord en faire une double, enfuite chercher la fomme de la figure donnée, & de la figure double de cette donnée qu'on vient de trouver; ainfi des autres. Des différentes pofitions refpectives de deux plans & d'une droite à l'égard d'un plan. DEFINITIONS. 393. ON appelle la ligne commune à deux plans qui fe coupent, la fection de ces plans. 394. On dit qu'une ligne B A eft perpendiculaire à un Fig. 3¤à plan P, lorfqu'elle eft perpendiculaire à toutes les lignes DA, EA, CA, qu'on peut tirer dans ce plan par le point A fur lequel elle tombe; & un plan eft perpendiculaire à un autre, lorfqu'une ligne tirée dans le premier plan perpendiculairement au côté qui touche le fecond plan eft auffi perpendiculaire à ce second plan. 395. On appelle angle plan, le plan compris entre deux droites qui font un angle, & angle folide une pointe folide formée par le concours de plufieurs angles plans, comme la pointe A d'une pyramide (F. 42). Deux angles folides font égaux lorfqu'ils font compofés d'un même nombre d'angles plans égaux chacun à chacun. THEOREME S. 396. Une droite qui a deux points fur un plan eft toute entiere dans ce plan; car une droite qui feroit toute entiere dans ce plan, & qui pafferoit par les deux points du plan que touche la premiere droite, fe confondroit néceffairement avec elle (194). 397. Deux plans couchés l'un fur l'autre fe touchent par tous leurs points, puifque les droites qui compofent un plan touchent l'autre par tous leurs points (396). 398. Trois points qui ne font pas en ligne droite déterminent la pofition d'un plan. Trois ou plufieurs points placés en ligne droite ne déterminent point la pofition d'un plan, puifque le même plan peut rouler fur une des lignes droites quelconques qui le compofent; mais il n'y a qu'une pofition dans laquelle un plan puisse paffer par trois points placés non en ligne droite. 399. Trois points ne peuvent être communs à deux plans differens's'ils ne font en ligne droite; car trois points qui ne font pas en ligne droite déterminent la pofition d'un plan (398) 400. L'interfection de deux plans ne peut être qu'une ligne droite. 1. Elle n'eft qu'une ligne, car chaque ligne d'un des plans n'a qu'un point commun avec la ligne qu'elle coupe dans l'autre plan ( 194 ). 2°. Elle eft une ligne droite, puifque tous les points de la fection font communs aux deux plans, & que trois points ne peuvent être communs à deux plans différens s'ils ne font en ligne droite (399). 401. Deux droites qui fe coupent font dans le même plan; car le point d'interfection de ces droites, & un point pris dans chacune déterminent la pofition d'un plan (398), dans lequel chaque ligne a deux points & par conféquent tous les autres (396). 402. Une ligne droite qui en joint deux autres pofées fur un plan, eft dans le même plan ( 396), puisqu'elle touche le plan par deux de fes points, qui font fes deux points de rencontre avec les deux autres droites. 403. Deux lignes perpendiculaires, ou également inclinées du même côté fur un plan, font paralleles ; car dans ce cas la ligne du plan qui paffe par les deux points de rencontre de ces deux lignes, fait avec elles les angles correfpondans égaux; elles font donc paralleles (229). 404. Réciproquement deux paralleles font avec le même plan les mêmes angles; car elles font les mêmes angles avec la ligne du plan qui paffe par leurs points de rencontre (225, 226 & 227). 405. On ne peut du même point A d'un plan P, élever plus d'une perpendiculaire AB à ce plan; car il n'y a qu'une fituation dans laquelle la ligne A B penche également fur toutes les lignes imaginables D A, EA, CA, &c. qui paffe par le point du plan qu'elle rencontre. 406. On ne peut pas non plus d'un point B hors d'un plan P, mener plus d'une perpendiculaire B A à ce plan 3 car fi B E étoit auffi perpendiculaire au plan P, on pourroit d'un même point B tirer deux perpendiculaires BA, BEà la ligne E A qui paffe par leurs points de rencontre (394), ce qui eft impoffible (212). rée 407. La distance d'un point B à un plan P, est mesipar une perpendiculaire tirée de ce point fur le plan; car elle mesure exactement la distance du point Bà toutes les lignes DA, EA, CA, &c. du plan qui paffent par le point de rencontre A (211 & 394). 408. Les interfections de deux plans paralleles par un troifiéme plan, font des lignes paralleles ; car fi elles ne l'étoient pas, les plans dont elles font partie ne le feroient pas non plus. * Fig. 38. 409. Si l'on pofe fur un plan P, le côté DAE d'un Fig. 39. |