cercle générateur un cone tronqué, & le côté de cette bande en décrit la furface: donc la fphere eft un compofe d'une infinité de cones tronqués, infiniment minces, dont les furfaces, prifes enfemble, forment celle de la fphere.

20. Chaque ordonnée au demi- cercle générateur décrit un plan de cercle: donc une fphere eft auffi un amas de plans de cercle couchés les uns fur les autres, dont les diametres décroiffent comme les ordonnées contiguës du demi-cercle générateur ou d'un autre cercle quelconque.

432. Si l'on imagine une infinité de lignes menées du centre de la sphere à fa furface, elles ne pourront remplir toute la capacité de la fphere fi elles ne vont toujours en groffiffant vers la furface: donc on peut regarder la fphere comme un compofe d'une infinité de pyramides infiniment minces, dont chacune a le fommet au centre, & a pour base un point de fa furface.

433. L'axe d'une fphere eft une droite DD, ou Cc, qui va d'un point de la furface à un autre, en paffant par le centre; & par conféquent tous les axes d'une fphere font égaux entr'eux, puifque leurs moitiés font égales (430).

On appelle grands cercles d'une fphere ceux qui ont pour diametres un axe de la fphere. Il peut donc y en avoir une infinité; car on peut tirer une infinité d'axes chacun dans un plan différent; & une infinité de cercles peuvent fe croifer, ayant le même axe de la fphere pour diametre commun.

* 435. On peut prendre la moitié d'un des grands cercles quelconque pour le demi-cercle générateur, puisqu'ils ont tous un égal diametre & le même centre.

* 436. La fection d'une fphere par un plan eft un cercle; car fi l'on conçoit le plan d'un grand cercle parallele à la fection, elle fe trouvera être le plan d'un des cercles qui font les élémens de la fphere ( 431 ).

437. On ne peut former que cing efpéces de polyedres réguliers; car 1°. on peut former un angle folide avec trois triangles équilatéraux, ce qui forme un tetraedre; avec quatre, ce qui forme un octaedre; avec cinq, ce qui forme un icofaedre, ou un folide à vingt faces; avec trois quarrés, ce qui forme un exaedre; avec trois pentagones réguliers, ce qui forme un dodecaedre, car l'angle à la circonférence étant dans le triangle équilatéral de 60°, dans le quarré de 90°, dans le pentagone de 108° (317), la fomme des angles plans qui en forment un folide dans tous les cas dont nous venons de parler, eft moindre que 360°, ce qui fuffic pour faire un angle plan (416).

par

2o. Par la raison contraire on ne peut former d'angle folide, ni par conféquent de corps avec d'autres polygones réguliers que ceux dont nous venons de ler (417), ni avec un plus grand nombre de ceux-là. Il faudroit, pour bien comprendre ce que je dis ici des polyedres réguliers, les avoir fous les yeux, en bois

ou en carton.

De la mefure des furfaces de chaque efpéce de folide.

DEFINITIONS.

438. ON appelle fimplement furface d'un folide celle de fes faces, en exceptant celle de fes bafes: celle des bafes & des faces tout enfemble, s'appelle furface

totale.

439. Un cylindre circonfcrit à une sphere eft un cylindre tel que fon axe eft auffi le diametre d'une sphere imaginée au dedans du cylindre, & que fon

élément moyen eft un des grands cercles de la sphere infcrite.

THEOREM ES.

440. La furface d'un prifme droit, & par conséquent d'un cylindre droit (426), eft égale au produit du contour de fa bafe par fa hauteur; car chaque face du prifme étant égale au produit de fa hauteur, qui eft auffi celle du prifme, par fa bafe particuliere, la fomme des furfaces de ces faces, ou la furface du prifme eft égale au produit de la hauteur du prifme par la fomme des bafes de fes faces, ou par le contour de sa base.

que

441. La furface d'une pyramide droite, & dont la bafe eft un polygone régulier, eft égale à la moitié du produit de fon apothême par le contour de fa base; car chaface de la pyramide étant égale à la moitié du produit de fa base par fa hauteur (361), qui eft l'apothême (428) de la pyramide, la furface de la fomme de ces faces, qui eft cellè de la pyramide, eft égale à la moitié du produit de l'apothême par la fomme des bafes de toutes les faces, ou par le contour de la pyramide. Si la pyramide n'étoit pas droite, ou fi fa base étoit irréguliere, fes faces n'auroient pas la même hauteur ou le même apothême. Il faudroit donc dans ce cas prendre la furface de chaque face en particulier, & en prendre la fomme, pour trouver la furface de la pyramide.

442. La furface d'un cone droit est égale à la moitié du produit du contour de fa base par une droite tirée d'un point quelconque de ce contour au sommet du cone; çar cette droite eft l'apothême du cone, qui eft luimême une pyramide droite & à base réguliere (429). 443. La furface d'une pyramide tronquée droite & à bafe réguliere, & par confequent d'un cone tronqué droit, eft égale au produit de l'apothême reftant par le contour de

*

Pélément moyen; car chaque face eft un trapeze qui a deux bafes paralleles, & par conféquent (365), dont la furface est égale au produit du refte de l'apothême par l'élément moyen de cette face: donc la fomme de ces faces eft. égale au produit de l'apothême reftant par la fomme de leurs élémens moyens, qui eft le contour de l'élément moyen de la pyramide tronquée.

* 444. La furface de la fphere eft égale au produit de Fig. 47. fon axe DD par la circonference d'un de fes grands cercles Cc. Il fuffit pour cela de démontrer que la furface de chacun des cones tronqués infiniment minces, qui compofent la sphere, comme Bb, c C, eft égale au produit de fon axe particulier H I par la circonférence d'un grand cercle Cc. Pour le prouver, je dis que la furface de ce cone tronqué eft égale au produit de la droite B C par le contour de l'élément moyen, dont PZ eft le rayon (443); or ce produit eft égal au produit de l'axe H I par la circonférence du grand cercle Cc, ce qui refte à démontrer.

Pour cela foit tirée du point B la perpendiculaire BO aux lignes PZ, CI, le triangle B OC eft femblable au triangle Bu P qui eft lui-même femblable au triangle PZI, à caufe que les angles u, Z font droits, & que l'angle au centre ZIP ou DIP eft égal à l'angle du fegment u PB ou RPB, puifqu'ils ont tous les deux pour mefure l'arc DABP ( 259 & 267): donc les deux triangles BOC, PZI font femblables: donc BC: BO:: PI: PZ. Si l'on prend PI & PZ pour les circonférences des cercles dont ils font les rayons, la proportion fubfiftera toujours ( 347 ): or dans cette proportion B C x PZ PIX BO, c'està-dire que le produit de BC par le contour de l'élément moyen, dont PZ eft le rayon, eft égal au produit de BO ou de HI par la circonférence dont PI ou CI eft le rayon, ce qui reftoit à démontrer,

=

On prouveroit de la même maniere que la furface de chaque autre cone tronqué eft égale au produit de fon axe par la circonférence, dont CI eft le rayon; & comme la fomme des axes de tous les cones tronqués qui compofent la fphere, forment l'axe de cette fphere, il fuit que la furface de la fomme de ces cones ou celle de la fphere, eft égale au produit de l'axe DD la circonférence, dont C I eft le rayon.

par

* 445. Il fuit de là, 1°. que la furface de la fphere eft quadruple de celle de fon grand cercle; car le produit du rayon de la fphere par la circonférence entiere de fon grand cercle feroit double (362) de la furface de ce grand cercle: donc le produit de la circonférence d'un grand cercle par l'axe, ou la furface (444) de la fphere, eft quadruple de la furface d'un grand cercle.

*

446. 2°. Que la furface de la sphere eft égale à celle du cylindre circonfcrit, puifque l'un & l'autre eft le produit de leur axe commun par des circonférences. égales, fçavoir l'un par celle de fon grand cercle (444) » l'autre par celle de sa base. fa

* 447. 3°. Que la furface de la fphere eft à la furface totale du cylindre circonfcrit comme 2 eft à 3; car la furface d'un cylindre étant égale à celle d'une fphere infcrite (446), elle vaut quatre fois la furface du grand cercle (445) de cette fphere ou de fa bafe: donc la furface totale du cylindre vaut fix fois celle de fa base: donc la furface du cylindre, ou celle de la sphere infcrite eft à la furface totale du même cylindre comme eft à 6, ou comme 2 eft à 3.

4

*

448.4°. Que la furface d'une fphere eft égale à celle d'un cercle dont le rayon feroit l'axe de cette fphere, parce que ce cercle ayant un rayon double du rayon d'un grand cercle de la fphere, c'eft-à-dire comme 2 à 1, auroir une furface (373) qui feroit à celle du grand cercle comme 4 à 1, ou qui en feroit quadruple &