la par conféquent égale (445) à celle de la fphere. De la mesure des folidités de chaque efpece de folide. DEFINITION. 450. LA folidité d'un corps eft l'efpace renfermé entre fes faces. 451. Un cube s'appelle pouce cubique, pied cubique, toife cubique, &c. felon que fes faces font des pouces quarrés, des pieds quarrés, des toifes quarrées, &c. Les cubes font la mesure des folides, de même que les quarrés le font des furfaces, enforte qu'on a affez déterminé la folidité d'un corps quand on a trouvé qu'elle est égale à un certain nombre, par exemple, de ou de pieds cubiques. THEOREMES. pouces 452. Le produit des mesures quarrées par les mêmes mesures en longueur exprime des cubes; enforte que le Fig. 46. produit de quatre pieds quarrés par une ligne de quatre pieds eft feize pieds cubiques; car fuppofons que la ligne A B eft de quatre pieds, & le rectangle HB de quatre pieds quarrés; fuppofons encore que le rectangle H B fe meut parallelement à lui-même le long de la ligne AB, qui lui eft perpendiculaire, enforte la que ce rectangle arrive fucceffivement dans les pofitions PN, LI, TR, GA; il eft clair, 1°. que trace du rectangle mobile H B, eft le parallelipipede rectangle G B. 2°. Qu'il eft le produit du rectangle HB par la ligne A B: or le parallelipipede G B contient feize pieds cubiques; car lorfque le rectangle HB eft parvenu en PN, fi on fuppofe que B N eft d'un pied, chaque pied quarré contenu dans HB a parcouru une ligne égale à un de fes côtés, & par conféquent a décrit un pied cube (425): donc la partie PB du folide GB contient quatre pieds cubiques; chacune des trois autres LN, TI, GR en contient quatre autres pour la même raison : donc le folide entier GB contient feize pieds cubiques : donc, &c. 453. La folidité d'un prifme & d'un cylindre est égale au produit de fa bafe par la hauteur; car elle eft précifèment égale à fon élément, qui eft la bafe, pris autant de fois qu'il y a de points dans la hauteur (420, 421, 423 & 426). 454. Des prifmes, & par confequent (426) des cylindres demême base & de même hauteur, font égaux; car ils font néceffairement compofés d'un même nombre (423) de mêmes élémens (420, 421). 455. Pareillement des pyramides A B C D E F ABCDEF, & par conséquent des cones de même base & de même hauteur font égales; car 1°, elles font compofées d'un même nombre d'élémens, ayant des hauteurs égales (423). 2°. Les élémens I KLMN, IKLMN de ces pyramides qui fe répondent, font égaux, puifque leurs angles homologues demeurant égaux aux angles homologues de leurs bafes, demeurent égaux entr'eux chacun à chacun; que leurs côtés homologues étant les termes correfpondans de deux progreffions arithmétiques (245), dont le premier, le dernier terme, le nombre de tous les termes > & par conféquent la différence regnante dans la progreffion font les mêmes, font d'égale longueur (159), & que d'ailleurs les élémens étant en même nombre dans les deux pyramides, & formant, pris enfemble, des hauteurs égales, font de la même épaiffeur dans les deux pyramides: donc ces élémens correfpondans font egaux en folidité, & par conféquent les pyramides entieres le font auffi. 456. Des prifmes, des pyramides, & par confequent des cylindres & des cones de même hauteur, font entr'eux comme leurs bafes; car fi l'on divife par l'efprit en parties égales les bafes inégales des deux prifmes ou des deux pyramides fuppofées, chacune de ces parties pourra être confidérée comme la bafe d'un prifme ou d'une pyramide, qui a la même hauteur que le folide entier; or il eft évident dans ce cas que les deux prifmes ou les deux pyramides fuppofées, font entr'elles comme le nombre des petits prifmes égaux ou des petites pyra mides égales qui les compofent, & par conféquent comme leurs bases: donc, &c. 457. Une pyramide quelconque eft le tiers d'un prifme de même bafe & de même hauteur. Qu'on imagine un cube formé par fix pyramides égales, qui ayent toutes leur fommet au centre de ce cube, & qui ayent chacune pour base une de fes faces, une de ces pyramides que j'appelle P, eft évidemment la fixiémé partie de ce cube ; & fi on le divife en deux également par un plan parallele à deux de fes faces, P fera le tiers de la moitié de ce cube, qui eft évidemment un prifme de même base & de même hauteur que P ; je l'appellerai R: cela pofé, je dis que toute autre pyramide p eft auffi le tiers d'un prifmer de même base & de même hauteur; car foient B & b les bafes des pyramides P & P & des prifmes R, r, & foit auffi la hauteur de Pégale à celle de p, on a la proportion (456) P:p :: B: b. Bb. Pareillement (456) R:r:: B:b: donc P:p:: R:r, ou (130) P: R:: p:r; or R = P: donc r P; ce qu'il falloit démontrer. I 458. Donc une pyramide, & par conséquent un conè (429), eft égale au tiers du produit de fa base par fa hauteur, puifque le prifme, dont la pyramide n'est que le tiers (457), eft égal à ce produit tout entier. 459. Une Sphere eft égale au tiers du produit de fa furface par fon rayon; car la fomme des pyramides infiniment minces, dont la fphere eft compofée, qui ont leur fommet au centre, & qui ont pour base un point .de fa furface (432), eft égale au tiers du produit du rayon par la fomme de leurs bafes, puifque chacune eft égale au tiers du produit de fa bafe par fa hauteur qui eft le rayon de la fphere. 460. On peut dire encore qué la sphère eft les deux tiers du produit de fon axe par la furface de fon grand cercle; car en appellant P la fphere, S fa furface, s celle d'un grand cercle, R le rayon, 2 R l'axe, on aura (459) P=, ou ( à caufe de S = 4S) (445) P—112 5 = 3 2 R s. P: * 4R s RS 3 461. Une fphere eft les deux tiers d'un cylindre circonferit, puifque ce cylindre eft égal au produit de fa bafe par fa hauteur (453), & que la sphere inscrite n'est que les deux tiers de ce produit (439 & 460). * 462. La fphere eft donc au cylindre circonfcrit comme 2 eft à 3, ainfi que fa furface eft à la furface totale du même cylindre ( 447 )· PROBLEM E. *462. Pour connoître le diametre, la furface & la folidité de la terre, il faut obferver que la terre eft uné fphere à peu près; que les Géographes conviennent que chaque degré d'un de fes grands cercles eft de 2 lieues; ainfi le produit de 25 par 360, qui eft le nombre des degrés de tout cercle, donnera la circonférence de la terre; c'eft 9000 lieues. Pour connoître le diametre, faites cette régle de Trois (385) 21: 7 :: 9000: 9000×7 21 3000 lieues. Pour connoître la furface, multipliez 9000 lieues, qui eft la circonférence d'un grand cercle par l'axe trouvé, qui eft de 3000 lieues; le produit fera 27000000 lieues quarrées; c'eft la furface de la terre (444). Enfin pour en trouver la folidité, multipliez-en la furface trouvée par le rayon, qui eft 1 500 lieues, & prenez le tiers du produit (459); or 27000000x 1 500 =13500000000 lieues cubiques; 3 c'eft la folidité de la terre. 463. DES SOLIDES SEMBLABLES. DEFINITIONS. LES corps terminés de tous côtés par des plans; font femblables, lorsqu'ils ont un même nombre de faces, dont les homologues font des figures femblables, & que leurs angles homologues font égaux. Les folides qui ne font pas des plans, comme des cylindres & des cones, doivent, pour être femblables, avoir des hauteurs proportionnelles aux rayons de leurs bafes ; & s'ils font obliques, il faut encore que leurs axes faffent avec leurs bafes les mêmes angles. terminés par 464. On peut concevoir deux folides femblables, comme deux amas d'un même nombre de tranches d'une épaiffeur infiniment petite, mais plus grande cependant dans les tranches du plus grand folide, à |