proportion de fon épaiffeur, dont les homologues font femblablement pofées, & font elles-mêmes des corps femblables. En un mot, deux folides femblables ne different que par leur grandeur. Les fpheres étant des amas d'un même nombre de tranches circulaires femblablement pofées, & dont les rayons décroiffent de la même maniere (431), font donc des corps femblables, ce qu'on verra encore démontré plus bas d'une autre façon (474).

*465. On appelle points homologues dans deux folides femblables GB, gb des points O,, foit qu'ils foient placés fur la furface, ou au dedans de ces folides, tels que des lignes OM, OI & om, oi, tirées de ces points à d'autres points homologues M, I, & m, i; pris fur les faces, faffent deux triangles femblables OMI, omi. Deux lignes ZS, zs, qui ne paffent au dedans de deux folides femblables que par des points homologues, font des axes homologues de ces deux folides; & deux plans qui coupent deux folides femblables, font appellés plans homologues, lorfqu'ils ne font compofés que d'axes homologues, comme TSRZ,

isrz.

465. On appelle produifans d'un folide ou d'une furface, les lignes dont le produit forme le folide ou la furface.

THEOREM ÉS.

466. Tout folide a trois produifans; car tout folide eft le produit d'une furface par une ligne; & toute furface eft le produit de deux lignes.

* 467. Deux polyedres réguliers de la même espéce font des folides femblables; car étant de la même efpéce, ils ont un égal nombre de faces; & les faces de l'un & de l'autre étant régulieres & de la même efpéce (419) font des figures femblables (346); enfin les angles

de chacun de ces folides étant faits par un même nom bre d'angles plans égaux entr'eux (298), & aux angles plans qui forment les angles de l'autre folide, font égaux (395): donc (463) deux polyedres réguliers de la même efpéce font femblables.

* 468. Deux plans TSRZ, tsrz qui paffent par trois points homologues S, R, O & s, r,o, placés non en ligne droite dans deux folides femblables GB, gb, 1o. ne passent que par des points homologues; car que deux plans qui ne paffent que par des points homologues coupent les deux folides G B, gb, & que l'un GB, paffe par les points S, R, O, l'autre paffera par les pointss, r,; or le premier de ces plans fe confondra avec TSRZ, l'autre avec tsrz, puifque trois points qui ne font pas placés en ligne droite, déterminent la pofition d'un plan.

2°. Séparent des tranches homologues, puisque s'ils féparoient des tranches non homologues, ils ne passeroient pas tous les deux uniquement par des points homologues.

3. Divifent ces deux folides, de façon que les fections font des figures femblables, puifque les fections font les faces homologues des tranches homologues que féparent les deux plans; & que les tranches homologues étant des corps semblables (464), leurs faces homologues font des figures femblables (463).

4. Divifent ces folides en parties, dont les homologues TB, tb, font des corps femblables; car puifqu'ils feparent des tranches homologues, ils en laiffent un égal nombre dans les parties femblables TB, tb, ou TA, ta; & les tranches homologues de ces parties font femblablement pofées, puifqu'elles l'étoient avant la divifion dans les tous semblables G B, gb (464).

* 469. Les dimenfions homologues quelconques de deux Spheres font proportionnelles entr'elles.

1o. Les dimensions homologues de deux grands cercles, ou de deux petits cercles homologues, dont les deux fpheres font compofées, font proportionnelles entr'elles (347), puifque les cercles font des figures femblables (346).

2o. Deux dimenfions homologues prises dans deux petits cercles homologues quelconques de deux fpheres, font proportionnelles à deux autres dimenfions homologues prifes dans les grands cercles de ces mêmes fpheres ; car elles font proportionnelles aux rayons de ces petits cercles, qui, étant des cordes homologues des demi-cercles générateurs des deux fpheres (431), font proportionnels aux rayons de ces deux cercles (347), ou des deux fpheres, & par conféquent (347) aux autres dimenfions homologues de ces grands cercles.

3°. Deux dimenfions homologues prifes dans deux petits cercles homologues de deux fpheres, font proportionnelles aux dimenfions homologues prifes dans deux autres petits cercles homologues quelconques des mêmes fpheres, puifque les dimenfions des deux premiers cercles, comme des deux derniers, font proportionnelles aux mêmes dimenfions homologues, aux rayons, par exemple, des grands cercles de ces deux fpheres: or les dimenfions homologues de deux spheres ne font que les dimenfions homologues de leurs grands cercles, ou de leurs petits cercles homologues. Donc,&c.

470. Les dimenfions homologues quelconques de deux folides femblables GB, gb, font proportionnelles à leurs côtés homologues quelconques DA, da, ou DC, dc, &c. ; & par conféquent (113) elles font proportionnelles entr'elles.

1o. Cela eft évident fi les dimenfions homologues font tirées fur leurs faces homologues (347), qui font des figures femblables (463): telles font les dimenfions SR, sr, ou TS, ts, &c.

20. Si les dimenfions homologues font des axes homologues, comme S Z, sz, on trouvera de même que SZ: sz:: DC:dc:: DA: da:: &c.; car qu'outre les points S, Z, &s, & qui font des points homologues, on prenne dans chaque folide un troifiéme point homologue R & r, & qu'on imagine que dans chaque folide un plan TSRZ, tsrz paffe par ces trois points; les fections feront des figures femblables (468), les lignes SZ, sz feront des dimenfions homologues de ces fections (340), & par conféquent (347) proportionnelles aux côtés homologues SR, sr de ces fections, qui étant eux-mêmes des dimenfions homologues (340) des faces homologues DB, db, font proportionnelles (347) aux côtés DC, dcou DA, da, &c. de ces folides: donc les axes homologues SZ, s leur font auffi proportionnels (113).

sz

3°. Il en eft de même des hauteurs de deux folides femblables & obliques, par exemple des hauteurs A Q, AH des pyramides femblables AIKLMN, ABC DEF, que je fuppofe fe pénétrer. (Si les folides femblables font droits, leurs hauteurs font des axes homologues, dont on vient de démontrer la proportionalité avec deux de leurs côtés homologues quelconques). Pour le prouver il fuffit d'obferver que les triangles A QI, AH B font femblables (246): donc (329) AQ: AH::AI:AB::AL:AD::LK: DC: &c. Or les dimenfions homologues de deux folides femblables ne font que des dimenfions homologues de leurs faces homologues, ou des axes homologues, ou leurs hauteurs. Donc, &c.

* 471. Les furfaces, ainfi que les folidités de deux folides de la même espéce, font en raifon compofee de leurs produifans; car elles font entr'elles comme les produits de leurs produifans (465); or la raifon de ces deux

produits eft compofée des raifons de leurs produifans (124).

* 472. Les furfaces de deux folides femblables font en raison doublée, & les folidités en raifon triplée de deux de leurs produifans homologues, & par conséquent ( 470 & 133) de deux autres dimenfions homologues quelconques; car 1°. toute furface a deux produifans (356), & tout folide en a trois (466) : 2o. les furfaces, ainfi que les folidités de deux folides femblables, font en raison compofée de leurs produifans (471): 3°. les raifons des produifans homologues des furfaces ou des folidités des corps femblables font égales (470): or la raison compofée de deux raifons égales eft doublée, & la raifon compofée de trois raifons égales eft triplée de l'une d'elles (124). Donc, &c.

*.

473. Les furfaces de deux fpheres font en raison doublée, & leurs folidités en raison triplée de leurs produifans, & par confequent ( 469 & 133) de deux autres dimenfions homologues quelconques; car les furfaces de deux fpheres font en raifon compofée (471) de leurs deux produifans, fçavoir (444) de leurs axes, & des circonférences de leurs grands cercles; & leurs folidités font en raifon compofée (471) de leurs trois produifans, fçavoir (459) des deux produifans de leurs furfaces & du tiers de leurs rayons; & comme les raifons de ces produifans homologues font égales (469 ou 464 & 470), la raifon compofée de deux de fes produisans eft doublée, celle de tous les trois eft triplée (124) de l'une de ces raifons. Done, &c.

474. Donc les fpheres ayant les propriétés des corps femblables (469 & 473 ), font en effet des folides Semblables.

* 475· De deux folides femblables, le plus petit a plus de furface que le plus grand à proportion de fa maffe; car dans les folides femblables, les folidités font comme