BD-DG, ou BGVBD-DG',

BD

AI= AD BG. On trouvera de la même maniere la valeur des mêmes lignes, fi DG ou AI eft la donnée.

* 491. Étant connu le finus CF d'un arc CB, Fig. 49 on connoît le finus AE d'un arc double ABC; car CF donne fon double CA (483), & fon cofinus DF (490); or à caufe des triangles rectangles femblables AEC, DFC, on a DC: DF:: AC: A E.

* 492. Étant donné le finus AE d'un arc ABC, on connoît le finus CF d'un arc foudouble BC; car AE donne EC (490), & l'on a ( 374) A C2 = A E2 + E ̃2,

2

ou AC = VÃE2+E ̃3, ou enfin CF=;

C

493. Étant donnés les finus LO, GI, de deux arcs, on connoit le finus GH de la fomme GLQ de ces arcs. Soient menées du point I les perpendiculaires IP, IK; les triangles rectangles LOD, IKD feront fembla bles, & l'on connoîtra PH par cette proportion, LD: OD::LO:IK PH; & les triangles rectangles GIP, IPR, RDH, LDO étant femblables, on a LD:OD::GI: GP. Voilà donc PH-GP, c'eftà-dire G H connu.

=

* 494. On connoît le finus de 30o (486); on connoîtra donc, fi l'on veut (492), le finus de 15°, de

2

4

=

900
32

54000ff
32.

11, de 1o, de 15, de 1, de 1,
TH
1687" 30
=101250""; & comme les arcs moin-
dres que ce dernier font extrêmement petits, on peut
les prendre, fans erreur fenfible, pour des lignes droi-
tes qui font le même angle avec l'extrémité du rayon,
& qui font avec leurs finus & l'extrémité du rayon, des
triangles rectangles femblables; d'où il fuit que ces

petits arcs font proportionnels à leurs finus; ön aura donc le finus d'un angle d'une minute ou de 60", ou, ce qui revient au même, de 3600" par cette régle de Trois: 101250" font à 3600", comme le finus connu de 101250" eft au finus cherché de 3600", lequel fervira à faire connoître par de fimples régles de Trois tous les finus, depuis une minute jufqu'à un degré.

*

495. Connoiffant le finus d'un degré, on connoît les finus de 2o, de 4o, de 8°, de 16°, &c. parce qu'étant connu le finus d'un arc, on connoît le finus (491) d'un arc double. On connoît auffi le finus de 3o, de 5°, de °, &c. parce qu'étant connus les finus de deux arcs, on connoît le finus de leur fomme (493). On connoîtra donc auffi (491) les finus de 6o, de 12°, de 24°, comme auffi les finus de 10°, de 20°, de 40° &c. & ceux de 14°, de 28°, de 56°, &c. enfin les finus de tous les arcs, depuis une minute jufqu'à 45 degrés.

Pour trouver les finus des arcs compofés de degrés & de minutes, il ne faudra que chercher le finus de la fomme de deux arcs, dont l'un contient les degrés & l'autre les minutes ( 493 ).

Les finus des arcs, depuis 45o jufqu'à 90°, n'étant que les cofinus des arcs qui font depuis une minute jufqu'à 45°, à mesure qu'on connoiffoit ceux-ci, on a pû connoître (490) les autres.

Enfin les angles obtus n'ayant d'autres finus que ceux de leurs fupplémens, il s'enfuit qu'on connoît les finus de tous les arcs, depuis une minute jufqu'à 180°. Voilà la méthode qu'on peut fuivre dans la conftruction des tables des finus.

*

496. La connoiffance des finus ne fuffit pas pour tous les calculs trigonométriques. Nous verrons dans la fuite (507) qu'il eft néceffaire auffi de fçavoir combien de parties du rayon contient chaque tangente;

c'eft pour cela qu'on a conftruit des tables des tangentes, & même des fécantes de tous les arcs poffibles: nous ne nous fervirons point de ces dernieres. Voici deux théorêmes qui ont fervi de fondement à la conftruction des tables des tangentes.

* 497. Le cofinus BI on DG d'un arc BC eft au finus Fig. 48; BG de cet arc comme le rayon DC eft à la tangente CK du même arc BC; car les deux triangles D G B, DCK font femblables,

Donc en multipliant le rayon par B'G, & en divifant le produit par BI, je connoîtrai CK, & en général je connoîtrai fucceffivement toutes les tangentes des arcs compris entre une minute & 45°, en multipliant leurs finus par le rayon, & en divifant le par leurs cofinus.

duit

pro

* 498. Le rayon eft moyen proportionnel entre la tangente CK d'un arc & la cotangente AL du même are ; car les deux triangles rectangles (254) DCK, DAL font femblables, à caufe que leurs angles alternes BDG, ALD font égaux (223 & 225): donc CK : DC::DA:AL, ou CK.DC.AL.

Donc en divifant le quarré du rayon par la tangente connue (498) C K, je connoîtrai la cotangente A L, & en général je connoîtrai toutes les cotangentes des arcs compris entre une minute & 45°, c'est-à-dire toutes les tangentes des arcs qui font au-deffus de 45° jufqu'à 90°, en divifant le quarré du rayon fucceffivement par toutes les tangentes des arcs compris entre une minute & 45°: cela pofé, on va réfoudre le problême général de laTrigonométrie d'abord fur les triangles rectangles, enfuite fur les obliquangles.

Résolution du problême général fur les triangles rectangles.

Wig. 48.499. ETANT donnés dans un triangle rectangle BDG deux côtés quelconques (l'angle droit eft toujours connu), on connoît tout le refte.

1o. On connoît le troifiéme côté. Si BD eft inconnu, on aura BD2 BG2+ DG2 (374). Si DG eft inconnu, on aura ( 375) DG2=BD2 — B G2. Enfin fi c'eft B G qu'on ne connoît pas, on aura BG2 BD -DG2; or connoiffant le quarré d'un côté, on connoît le côté même.

2o. On connoît les deux angles aigus B, D. Pour connoître l'angle B, il fuffit de dire (488) le côté B D eft au finus de l'angle droit G, comme le côté connu DG eft au finus de l'angle B que je cherche (nous mettrons dans la fuite s devant la lettre qui désigne un angle, pour en marquer le finus). J'exprime ainfi cette proportion, BD:SG:: DG: s B. Si on cherche dans les tables le finus trouvé, on y verra de combien de degrés eft l'angle auquel il répond; ce fera la valeur de l'angle B. Connoiffant l'angle B & l'angle droit, je connois le troifiéme angle D (265).

soo. Étant donné un angle aigu D, & un des trois côtés quelconque, on connoît tout le refte..

1o. On connoît les angles; car connoiffant l'angle droit & l'angle donné D, on connoît ( 265 ) le troifiéme angle B.

2o. On connoît les deux autres côtés. Si l'hypoté nufe BD eft donnée, on connoîtra le côté D G par cette régle de Trois (488), sG: BD::sB: DG; & deux côtés étant connus, on connoît le troifiéme BG,

qu'on

qu'on pourroit d'ailleurs connoître par cette régle de Trois, sG: BD:: sD: BG. On connoîtroit par de pareilles proportions les deux autres côtés, fi B G ou DG étoient donnés au lieu de BD.

Réfolution du problême général fur les triangles obliquangles.

for. DANS tout triangle obliquangle ABC, étant Fig. goi connu un côté quelconque BC, & deux angles quelconques, on connoît tout le refte; car on connoît le troifiéme angle (265). On connoît enfuite les deux autres côtés AB, AC par ces régles de Trois, s A: BC:s C: AB, & ABC:: SB: AC (488).

502. Étant donnés deux côtés A B, AC, & un anglè B opposé à un côté connu AC, on connoît tout le refle pourvu qu'on fache fi l'angle opposé à l'autre côté connu AB eft aigu on obtus. Il fuffit ou obtus. Il fuffit pour cela de faire cette régle de Trois (488), ACsB::AB:s C. Le finus de l'angle C étant connu, je trouverai dans les tables la valeur de l'angle C, auquel répond ce finus ; & l'angle C étant connu, on connoît tout le reste (501).

J'ai dit, pourvû qu'on connoiffe fi l'angle C eft aigu ou obtus; car fi l'on prend AC pour rayon du cercle CDI, on aura A D A C, & l'on aura pareillement pour le triangle A B D la proportion AD où AC: SB:: AB:s D; & par conféquent on trouvera le même finus pour l'angle obtus D & pour l'anglè aigu C, (ce qui doit néceflairement arriver, puifque l'angle ADC, fupplément de l'angle ADB étant égal à l'angle A CD (243), à cause du triangle isocele DAC, l'angle A CD eft auffi fupplément de l'angle obtus ADB, & que les angles obtus n'ont d'autres