2 2 2 BG2 = BD - DG, ou BG = √BD-DG2, AI=AD- BG. On trouvera de la même maniere la valeur des mêmes lignes, fi DG ou Alest la donnée. * 491. Étant connu le sinus CF d'un arc CB, Fig. 494 on connoît le sinus AE d'un arc double ABC; car CF donne fon double CA (483), & fon cosinus DF (490); or à cause des triangles rectangles semblables AEC, DFC, on a DC:DF::AC: AE. * 492. Étant donné le sinus AE d'un arc ABC, on connoît le sinus CF d'un arc soudouble BC; car AE donne EC (490), & l'on a (374) AC2 = AE + EC, 2 2 ou AC = AE + EC2, ou enfin CF= * 493. Étant donnés les finus LO, GI, de deux arcs, en connoit le sinus GH de la fomme GLQ de ces arcs. Soient menées du point 1 les perpendiculaires IP, IK; les triangles rectangles LOD, IKD feront sembla. bles, & l'on connoîtra PH par cette proportion, LD: OD :: LO: IK=PH; & les triangles rectangles GIP, IPR, RDH, LDO étant semblables, on a LD:OD::GI: GP. Voilà donc PH-GP, c'està-dire GH connu. * 494. On connoît le sinus de 30o (486); on connoîtra donc, si l'on veut (492), le sinus de 15°, de 322 9001 5400011 32 1687" 30" = 101250"; & comme les arcs moindres que ce dernier sont extrêmement petits, on peut les prendre, sans erreur sensible, pour des lignes droites qui font le même angle avec l'extrémité du rayon, & qui font avec leurs finus & l'extrémité du rayon, des triangles rectangles semblables; d'où il suit que ces petits arcs font proportionnels à leurs finus: on aura done le sinus d'un angle d'une minute ou de 60", ou, ce qui revient au même, de 3600" par cette régle de Trois: 101250" sont à 3600'", comme le sinus connu de 101250" estau sinus cherché de 3600', lequel fervira à faire connoître par de simples régles de Trois tous les sinus, depuis une minute jusqu'à un degré. * 495. Connoissant le sinus d'un degré, on connoît les sinus de 2o, de 4o, de 8o, de 16o, &c. parce qu'étant connu le sinus d'un arc, on connoît le sinus (491) d'un arc double. On connoît aussi le sinus de 3o, de 5°, de 7°, &c. parce qu'étant connus les sinus de deux arcs, on connoît le sinus de leur somme (493). On connoîtra donc aussi (491) les finus de 6o, de 12o, de 24°, comme aussi les sinus de 10°, de 20o, de 40° &c. & ceux de 14o, de 28°, de 56°, &c. enfin les finus de tous les arcs, depuis une minute jusqu'à 45 degrés. Pour trouver les finus des arcs composés de degrés & de minutes, il ne faudra que chercher le sinus de la somme de deux arcs, dont l'un contient les degrés & l'autre les minutes (493). Les sinus des arcs, depuis 45o jusqu'à 90°, n'étant que les cosinus des arcs qui font depuis une minute jusqu'à 45°, à mesure qu'on connoissoit ceux-ci, on a pû connoître (490) les autres. Enfin les angles obtus n'ayant d'autres finus que ceux de leurs fupplémens, il s'enfuit qu'on connoît les sinus de tous les arcs, depuis une minute jusqu'à 180°. Voilà la méthode qu'on peut suivre dans la construction des tables des sinus. * 496. La connoissance des sinus ne suffit pas pour tous les calculs trigonométriques. Nous verrons dans la suite (507) qu'il est nécessaire aussi de sçavoir combien de parties du rayon contient chaque tangente; c'est pour cela qu'on a construit des tables des tangentes, & même des sécantes de tous les arcs possibles : nous ne nous fervirons point de ces dernieres. Voici deux théorêmes qui ont servi de fondement à la construction des tables des tangentes. * 497. Le cosinus BI ou DG d'un arc B C eft au finus Fig. 48. BG de cet arc comme le rayon DC est à la tangente Donc en multipliant le rayon par BG, & en divisant le produit par BI, je connoîtrai CK, & en général je connoîtrai successivement toutes les tangentes des arcs compris entre une minute & 45°, en multipliant leurs finus par le rayon, & en divisant le produit par leurs cosinus. * 498. Le rayon est moyen proportionnel entre la tangente CK d'un arc & la cotangente AL du même arc s car les deux triangles rectangles (254) DCK, DAL sont semblables, à cause que leurs angles alternes BDG, ALD font égaux (223 & 225): donc CK: DC::DA:AL, ou CK.DC.AL. Donc en divisant le quarré du rayon par la tangente connue (498) CK, je connoîtrai la cotangente AL, & en général je connoîtrai toutes les cotangentes des arcs compris entre une minute & 45°, c'est-à-dire toutes les tangentes des arcs qui font au-dessus de 45o jusqu'à 90°, en divisant le quarré du rayon successivement par toutes les tangentes des arcs compris entre une minute & 45°: cela posé, on va réfoudre le problême général de la Trigonométrie d'abord sur les triangles rectangles, ensuite sur les obliquangles. 3 Résolution du problême général fur les triangles rectangles. Wig. 48. 499. ETANT donnés dans un triangle rectangle BDG deux côtés quelconques (l'angle droit est toujours connu), on connoît tout le reste. 10. On connoît le troisiéme côté. Si BD est inconnu, on aura BD2 = BG2 + DG2 (374). Si DG est inconnu, on aura (375) DG=BD2 - BG2. Enfin si c'est B G qu'on ne connoît pas, on aura BG2 = BD -DG2; or connoiffant le quarré d'un côté, on connoît le côté même. 2 2°. On connoît les deux angles aigus B, D. Pour connoître l'angle B, il suffit de dire (488) le côté B D est au sinus de l'angle droit G, comme le côté connư DG est au sinus de l'angle B que je cherche (nous mettrons dans la suites devant la lettre qui désigne un angle, pour en marquer le sinus). J'exprime ainsi cette BD:SG::DG: SB. Si on cherche dans proportion, les tables le sinus trouvé, ,on y verra de combien de degrés est l'angle auquel il répond; ce sera la valeur de l'angle B. Connoissant l'angle B & l'angle droit, je connois le troisiéme angle D (265). soo. Étant donné un angle aigu D, & un des trois côtés quelconque, on connoît tout le reste.. 10. On connoît les angles; car connoissant l'angle droit & l'angle donné D, on connoît (265) le troisfiéme angle B. 2°. On connoît les deux autres côtés. Si l'hypoté nuse BD est donnée, on connoîtra le côté DG par cette régle de Trois (488), SG: BD :: SB: DG; & deux côtés étant connus, on connoît le troifiéme BG, qu'on pourroit d'ailleurs connoître par cette régle de Trois, SG: BD :: SD: BG. On connoîtroit par de pareilles proportions les deux autres côtés, si B G ou DG étoient donnés au lieu de B D. qu'on Résolution du probléme général fur les triangles obliquangles. 501. DANS tout triangle obliquangle ABC, étant Fig. gui connu un côté quelconque BC, & deux angles quelconques, on connoît tout le reste; car on connoît le troisiéme angle (265). On connoît ensuite les deux autres côtés AB, AC par ces règles de Trois, SA: BC :: SC AB, &SA:BC:: SB: AC (488). 502. Étant donnés deux côtés AB, AC, & un angle B opposé à un côté connu AC, on connoît tout le reste pourvû qu'on scache si l'angle opposé à l'autre côté connu AB eft aigu ou obtus. Il suffit pour cela de faire cette régle de Trois (488), AC:SB::AB:s C. Le sinus de l'angle C étant connu, je trouverai dans les tables la valeur de l'angle C, auquel répond ce sinus ; & l'angle Cétant connu, on connoît tout le reste (501). J'ai dit, pourvû qu'on connoisse si l'angle C est aigu ou obtus; car si l'on prend AC pour rayon du cercle CDI, on aura AD = AC, & l'on aura pareillement pour le triangle A B D la proportion AD ou AC:$B::AB: SD; & par conféquent on trouvera le même sinus pour l'angle obtus D & pour l'angle aigu C, (ce qui doit nécessairement arriver, puisque l'angle ADC, supplément de l'angle ADB étant égal à l'angle ACD (243), à cause du triangle isocele DAC, l'angle ACD est aussi supplément de l'angle obtus ADB, & que les angles obtus n'ont d'autres M |