finus que ceux de leurs fupplémens) (481); si donc on vouloit connoître le côté B C du triangle ABC, & qu'on prît le sinus trouvé pour celui de l'angle obtus D, on trouveroit l'angle A beaucoup plus aigu qu'il ne l'est, & le calcul ne donneroit que BD au lieu de BC pour le côté opposé à l'angle A, ce qui seroit une erreur considérable.

* 503. Étant connus les trois côtés, on connoît les trois angles. Pour le démontrer, nous ferons précéder la démonstration de la propofition suivante.

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504. LEMME. Dans tout triangle A BC, le plus grand côté B C est à la somme des deux autres, comme leur différence est à la différence des segmens BG, CG, formés par la perpendiculaire AG, tirée sur le grand côté BC de l'angle opposé A; car si du point A, & de l'intervalle AC, on décrit le cercle FCDI, & fi l'on prolonge BAen F, BF sera la somme des côtés BA, AC, & BI en sera la différence. BD sera la différence des segmens BG, CG, à cause de GD=CG(278); or (337) BC:BF:: BI:BD. Donc, &c.

Cela posé, on connoîtra la valeur du grand segment, en ajoutant la moitié de la différence de ces segmens à la moitié de leur fomme; & le plus petit, en retranchant de la moitié de leur somme la moitié de leur différence (177). On aura donc deux triangles rectangles BAG, CAG, dont on connoîtra deux côtés, outre l'angle droit G, & par conféquent (499) les angles B, C, ensuite tout le triangle A B C (501).

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505. On peut démontrer aux yeux, comme nous l'avons fait par le calcul (177) que de deux lignes inégales la plus grande est égale à la moitié de ces lignes plus la moitié de leur difference, & la plus petite à la moitié de leur somme moins la moitié de leur différence; nous allons le prouver, pour ne laisser aucun doute dans la démonstration précédente. Soient AD, DE deux li

gnes inégales, dont la somme est AE, & foit A Cla moitié de cette somme; je prens sur A C avec le compas AB = DE. Il est clair 1°. que B D est la différence des lignes AB = DE & AD: 2°. que BC ou CD est la moitié de cette différence, puisqu'ayant par la construction AC=EC, & AB=ED, il reste (6) BC = CD, or il est évident que AD = AC + CD, & que DE = CE-CD. Donc, &c.

* 506. Étant connus deux côtés AB, AC & l'angle Fig. 5 compris A, on connoît tout le reste. Pour le démontrer, nous commencerons par établir le lemme suivant.

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507. LEMME. Dans tout triangle ABC la somme de deux côtés AB, AC est à leur difference comme la tangente de la moitié de la somme des angles B, C opposés à ces deux côtés est à la tangente de la moitié de la différence de ces deux angles. Du point A & de l'intervalle AC, décrivez le cercle DCF, prolongez BA des deux côtés jusqu'à la circonférence, prolongez C Ben F, tirez HC, DC qui feront un angle droit (268); tirez la droite I H parallele à DC, & par conféquent (223) perpendiculaire à HC; vous aurez deux triangles semblables DBC, HBI, puisque l'angle H BI est égal à fon opposé par la pointe DBC, & que l'angle IHB est égal à son alterne CDB: done BD: BH::DC: IH.

Il ne s'agit plus que de prouver 1o. que B D est la somme des côtés AB, AC: 2°. que B H en est la différence ( ces deux points sont évidens par la conftruction): 3°. que DĈ est la tangente de la moitié de la somme des angles B, C 4°. que IH est la tangente de la moitié de la différence de ces angles, ce qui se démontre ainfi.

L'angle D A C extérieur au triangle BAC est égal à la somme (237) des angles intérieurs B, C, l'angle infcrit DHC, est égal à la moitié (266) de cette

fomme; or fi du point H, comme centre', & de l'inter valle HC on décrit l'arc CE, la ligne DC sera ( à cause de l'angle droit DCH) la tangente de l'arc CE, ou de l'angle DHC: elle sera donc la tangente de la moitié de la somme des angles B, C.

Maintenant l'angle ABC extérieur au triangle HBC est égal à la somme des intérieurs BHČ, BCH, c'est-à-dire ABC=BHC+BCH; mais à cause du triangle isocele HAC, l'angle BHC = ACB+BCH: donc en substituant ces deux derniers angles à l'angle BHC dans la premiere équation, elle se réduira à celle-ci, ABC=ACB+2BCH: donc 2BCH est la différence des angles ABC & ACB, & BCH est la moitié de cette différence; or fi du point C, comme centre, & de l'intervalle CH, on décrit l'arc HG, la ligne IH sera ( à cause de l'angle droit IHC) la tangente de l'angle BCH: elle sera donc la tangente de la moitié de la différence des angles B, C; ce qui restoit à démontrer.

Cela posé, cette tangente cherchée dans les tables fera connoître l'angle égal à la moitié de la différence des angles B, C, auquel elle répond; & cet angle ajouté, ou soustrait de la moitié de la somme des angles B, C, donnera le plus grand ou le plus petit (177) angle: on connoîtra donc dans le triangle A BC trois angles & deux côtés, & par conféquent le troifiéme côté BC, par cette proportions B: AC:: SA: BC.

508. Donc fi des fix parties d'un triangle, soit rectangle (499 & 500), soit obliquangle (501, 502, 503, 506), on en connoît trois, du nombre desquelles foit un côté, on connoît tout le reste ; & le problême général est résolu.

509. J'ai dit du nombre desquelles soit un côté. La raison de cette condition est que la connoiffance des trois

angles d'un triangle ne donne point la valeur abfolue des côtés, puisque les triangles semblables ont leurs angles homologues égaux, & non leurs côtés homologues. Mais fi on suppose une valeur à un côté, on trouvera (329) qu'elle feroit, dans cette supposition, la valeur des autres côtés, c'est-à-dire qu'on trouvera seulement le rapport des côtés véritables.

Il nous reste d'appliquer la solution générale du problême qui fait l'objet de la Trigonométrie à des problêmes particuliers. Nous allons proposer les plus curieux de la Trigonométrie & de la Planimétrie.

PROBLEMES DE TRIGONOMETRIE & de Planimétrie.

510. POUR connoître la hauteur A B d'une tour, d'un Figi 52. clocher, d'un arbre, &c. accessible par le bas, mesurez la longueur CB; prenez en C avec le graphometre l'angle ACB (le graphometre est un demi-cercle de laiton, divisé en degrés, terminé par un diametre immobile, qui est une lunette avec laquelle on vise l'objet que l'on veut. A fon centre est fixé un second diametre; c'est aussi une lunette, qui roule aisément fur le centre du demi-cercle on l'appelle l'alilade. L'arc du demi-cercle compris entre ces deux diametres, mefure l'angle fait entr'eux, & par conféquent fait par des lignes tirées de l'interfection des diametres aux deux objets visés. Dans ce cas-ci, le centre du graphometre est en C, le diametre immobile est dans la direction C B perpendiculaire à la hauteur AB, l'alilade est dans la direction CA, l'arc du graphometre, compris entre les deux lunettes, mesure l'angle BCA). Vous connoîtrez donc dans le triangle ACB, outre

l'angle droit B, l'angle C, & le côté mesuré CB: donc vous connoîtrez la hauteur A B (500) par cette proportions A: CB::SC:AB.

SII. La hauteur A B est-elle inacceffible, de façon qu'on ne puiffe pas en approcher de plus près que du point C? Mesurez la longueur DC, prenez en D avec le graphometre l'angle ADC, prenez en C les deux angles DCA, ACB; connoissant les deux angles D, C & le côté DC dans le triangle DCA, vous connoissez le côté AC (for): donc vous connoissez dans le triangle rectangle ACB, outre l'angle droit, le côté A C & l'angle C, & par conféquent (soo) la hauteur A B. Par cette proportion SB: AC::SC: AB,

Tis: 53. 512. Pour connoître la distance de deux objets A, B, dont il n'y en a qu'un d'accessible, la distance par exemple des bords, ou la largeur d'une riviere; mesurez la longueur AD, & prenez les deux angles BAD, ADB, vous connoîtrez la distance A B (501).

*513. Les objets A, B, dont il faut connoître la diftance, font-ils inaccessibles tous les deux ? Mesurez la longueur DC, prenez en Dles angles ADC, BDC, prenez en C les angles BCA, ACD, BCD; vous connoiffez dans le triangle A CD les deux angles ADC, ACD & le côté DC, & par conféquent (for) le côté AC: vous connoissez dans le triangle BCD les angles BCD, BDC & le côté DC, & par conféquent le côté CB: donc vous connoissez dans le triangle ACB les côtés CA, CB, & l'angle compris ACB, & par conféquent le côté AB (506).

514. Pour connoître la distance de la lune à la terre, Fig. 14. on peut s'y prendre ainfi. Soit T la terre, L la lune, dans le tems qu'elle répond à l'équateur de la terre; O un lieu quelconque de la terre, où se trouve un Observateur, Paris par exemple; l'arc de méridien AO, compris entre l'équateur de la terre & Paris, en mar