MP à l'axe est double de l'abcisse SP, ou PT=2SP, ou SP=ST; car le triangle MFT est isocele, à cause de l'angle FMT=DMT, qui est égal à son alterne MTF: donc FM = FT: donc la perpendiculaire FI sur la base TM donne IT = IM (242); & par conféquent les triangles rectangles TIS, MIL sont égaux en tout: donc ST = ML = S P.

543. La sous-normale BP est égale à la moitié du parametre, ou BP = SE=FE (532), à cause des trian gles DEF, MPB, égaux en tout.

544. Toutes les sous-normales font égales entr'elles; car chacune est égale (543) à la grandeur constante F E.

545. Le parameire q d'un diametre quelconque MO furpasse le parametre p de l'axe du quadruple de l'abcisse SP, qui répond à l'ordonnée MP, menée à l'axe de l'origine M du diametre ; car 4M D = 45 E+4SP, ou q=p+4SP=p+4x.

$46. Le parametre q d'un diametre quelconque MO est une troisième proportionnelle à l'abcisse SP, qui répond à l'ordonnée MP, menée à l'axe de l'origine M de ce diametre, & à la tangente MT, tirée du même point à l'axe Ss suffisamment prolongé, oux. MT. Q, ou bien MT2 = 9x; car le triangle rectangle MPT donne MT = MP2+PT2; or MP2y y px(534), & PT2 = 4 x x (542): donc MT

=px+4xx=p+4xxx=9x(545).

2

547. La perpendiculaire FI tirée du foyer sur la tangente TA, à un point quelconque M de la parabole, fuit la raison de la racine quarrée du rayon recteur FM, tiré au point de contact; car le triangle rectangle T IF donne (335) FS.FI.FT ou (542) FM: donc FI2 = FS × FM ; & à cause de la grandeur conftante FS, FI2 suit la raison de FM, & FI celle de ✓ FM.

548. Le quarré d'une ordonnée quelconque m G à un

N

A

diametre quelconque MO, est égal au produit de son abciffe MG par le parametre Q de ce diametre.

Soit tirée l'ordonnée mpà l'axe & fa parallele G C. Soit MP, R pou GC=y, SP = x, pc ou RG =b, PC ou MG = d; je dis que les triangles TPM, GRm sont semblables; car l'angle PT Mest égal à son alterne TMD, qui est égal à son correspondant m GR: donc on a la proportion PT: TM:: GR:Gm, ou PT2: TM2 :: GR : Gm2; or PT2 = 4xx (542), TM2=qx (546), & GR2=4dx, comme nous le démontrerons bientôt : donc (137)

4 x x

Il reste à prouver que GR2= 4dx. Pour cela je dis qu'à cause des triangles semblables TPM, GRm,

onaPT:PM::GR:Rm = 2(137); mais pm

2

=pR-Rm=y: : donc pm2=yy

& comme (536) SP: Sp :: PM2 : pm2, oux: x+ d-b::yy:yy+-=pm2 on aura, en égalant ces deux valeurs de pm2, l'équation yy+

byy

x

bbyy

4x x

dyy

x

x

yy, ou transposant & réduisant = 2, en ôtant les fractions, (171) & divisant les deux membres par yyx, 4dx=bb: donc puisque GR = b,GR2=4dx; ce qui restoit à démontrer.

4 xx

549. Il suit du n°. précédent & du n°. 534. que dans la parabole les diametres ont les mêmes propriétés que les axes.

DE L'ELLIPSE.

DEFINITIONS.

$60. L'Ellipse est une courbe SMDsdZS telle que Fig. 38. là somme MF+ Mf des distances de chacun de ses points, comme M, aux deux points déterminés F, f, qu'on appelle foyers, est toujours la même.

561. Et par conféquent pour décrire une ellipse, il fuffit de fixer à deux points quelconques F, f les deux extrémités d'un fil plus long que la distance Ff de ces points, & de faire rouler autour d'eux un stile qui tienne toujours le fil tendu; la trace du stile formera une ellipfe; car dans ce cas la somme des distances du stile aux deux foyers est toujours la même, puisqu'elle est toujours égale à la longueur du fil.

562. La droite Ss, qui passe par les deux foyers Ff, s'appelle le grand axe de l'ellipfe. La droite Dd, qui divise perpendiculairement en deux parties égales la distance F, f des foyers, est le petit axe. Le point d'intersection C des deux axes est le centre, Ff l'excentricité; une droite M O qui traverse l'ellipfe, en croifant les deux axes au centre, est un diametre; un autre diametre K Z parallele à la tangente TA, qui passe par l'origine M du premier diametre, s'appelle diametre conjugué au diametre MO. Les ordonnées, comme LV, à un diametre M O, devant être paralle les à la tangente qui passe par l'origine de ce diametre (521), doivent donc être paralleles à son diametre conjugué K Z.

563. Une troifiéme proportionnelle aux deux axes, ou à deux diametres conjugués quelconques, s'appelle

le parametre du premier terme de la proportion; par exemple, si l'on fait Ss. Dd. p, la ligne p sera le parametre du grand axe Ss. Si on avoit Dd.Ss.q, la ligne q seroit le parametre du petit axe D d.

THEOREMES.

564. La distance de chaque foyer au bout le plus proche du grand axe Ss eft la même, ou FS=fs; car la somme des distances du point Saux deux foyers est 2SF+Ff, & la somme des distances des aux mêmes foyers est 2 sf+Ff; ôtant de ces deux sommes égales (560) la partie commune Ff, il reste les quantités égales 2 FS, 2 fs, & par conféquent F S=fs.

565. Donc le grand axe est divisé en deux également par le petit axe, ou CS = Cs.

566. La somme des distances des deux foyers à chaque point M de l'ellipse, est égale au grand axe Ss; car la somme des distances de S aux foyers est SF+SP+ Ff, ou (564) SF+sf++ Ff, ou Ss; & la fomme des distances des deux foyers à chaque autre point de la courbe est la même (560). Donc, &c.

567. La distance du bout du petit axe à un des foyers est égale à la moitié du grand axe; car Fd+fd=Ss (566); & d'ailleurs Fd=fd, puisque le point C de la perpendiculaire d D étant aussi éloigné de F que def, le point d doit l'être auffi: donc Fd, oufd= SS=CS(565).

2

568. Pour la même raison une ligne tirée de f en D feroit égale à CS, & formeroit par conféquent le triangle fCD égal en tout au triangle f C d: donc on auroit C D = Cd: donc le petit axe est divisé en deux également par le grand axe.

569. Il est évident par le n°. 567. qu'une ellipse étant donnée, pour en trouver les foyers, il faut du bout du petit axe porter sur le grand axe deux droites égales, chacune au demi-grand axe. Leurs points de rencontre avec le grand axe seront les foyers.

570. Je ferai dans la suite le demi-grand axe CS, ou Cs = a, le demi-petit axe CD, ou Cd=b, le parametre du grand axe = p, la demi-excentricité CF, ou Cf=c, l'ordonnée MP = y, la partie CP du grand axe, comprise entre le centre C & l'ordonnée =x: on aura donc SP=a-x,sP=a+x, FP =c-xfP=c+x, sf, ou SF=a-c, s Fou Sf = a+c, & puisque FM+fM = 2a (566); fi on fait = 2 z la différence de FM à fM, on aura (177) M = a + z, &FM= a -2. Il faut se rendre familieres toutes ces dénominations.

571. Le quarrébb du demi-petit axe est égal au produit aa-cc des distances ac, ac d'un des foyers aux bouts du grand axe; car le triangle rectangle Fcd donne cd2=Fd2-Fc2, ou (570) bb=aa-cc. 572. L'équation à l'ellipse est aayyaabb-bbxx ou ; car à cause des triangles rectangles FPM,PM, on a 1. FP2+PM2=FM2, 2°. fp2 +PM2=fM2, ou en termes algébriques (570):

yy=bb-bb**

1°.

2°.

aa

cc-2cx+xxyy=aa-2az+zz
cc+2cx+xxyy=da+zazzz.

Otant la premiere de ces équations de la seconde, le premier membre du premier, le second du second,

a

cx

ccxx

refte 40x = 4az: donc z = mettant & au lieu de z & de z z dans la premiere des équations précédentes, on a cc-2cx+xx+yy=aa-2cx+

a a

•

Otant la fraction, transposant & réduisant, on a aayya-aa cc-aaxx+ccxx, & divisant chaque membre par aa-cc =aa-xx, ou (à cause de