MP à l'axe eft double de l'abciffe SP, ou P T=2S P, ou SP=ST; car le triangle MFT eft ifocele, à caufe de l'angle FMT=DMT, qui eft égal à fon alterne MTF: donc F MFT: donc la perpendiculaire FI fur la bafe T M donne I TIM (242); & par conféquent les triangles rectangles TIS, MIL font égaux en tout: donc ST MLS P.

$43. La fous-normale BP eft égale à la moitié du parametre, ou BP = 2S E=FE (532), à caufe des triangles DEF, MPB, égaux en tout.

544. Toutes les fous-normales font égales entr'elles; car chacune eft égale (543) à la grandeur conftante F E.

545. Le parametre q d'un diametre quelconque MO Jurpalle le parametre p de l'axe du quadruple de l'abciffe SP, qui répond à l'ordonnée MP, menée à l'axe de l'origine M du diametre ; car 4M D≈ 45 E+4S P, ou q=p+4SP=p+4x.

$46. Le parametre q d'un diametre quelconque MO eft une troifiéme proportionnelle à l'abcisse S P, qui répond à l'ordonnée MP, menée à l'axe de l'origine M de ce diametre, à la tangente MT, tirée du même point à l'axe Ss fuffifamment prolongé, ou x. MT. Q, ou bien MT'qx; car le triangle rectangle MPT donne MTM P+P T2; or M Pyy ➡px ( 534 ), & PT2 = 4 xx (542): donc M T2 =px+4xx=p+4xxx = 9x (545).

547. La perpendiculaire F1 tirée du foyer fur la tangente TA, à un TA, à un point quelconque M de la parabole, fuit la raifon de la racine quarrée du rayon recteur FM, tiré au point de contact; car le triangle rectangle TIF donne (335) S. FI.FT ou (542) FM: donc FIFS x FM; & à caufe de la grandeur conftante FS, FI2 fuit la raifon de FM, & FI celle de ✓ FM.

548. Le quarré d'une ordonnée quelconque m G à un

diametre quelconque MO, eft égal au produit de fon abciffe MG par le parametre Q de ce diametre.

Soit tirée l'ordonnée mp à l'axe & sa parallele G C. Soit MP, Rp ou GC=y, SPx, pc ou RG b, PC ou MG d; je dis que les triangles TPM, GRm sont semblables; car l'angle PT M eft égal à fon alterne TMD, qui eft égal à fon correfpondant m GR: donc on a la proportion PT: TM:: GR: Gm, ou PT2: TM2 :: GR: Gm2; or PT2 = 4xx (542), T M2=qx (546), & GR2=4dx, comme nous le démontrerons bientôt donc (137) Gm2 = = gd=qx MG.

49 d x x

4xx

=

Il reste à prouver que GR2 4dx. Pour cela je dis qu'à caufe des triangles femblables TPM, GRm, on a PT: PM :: GR: Rm=2(137); mais p m =pR-Rm=y—donc pm2 = yy — + 4xxi & comme (536) SP: Sp: : P M2 : p m2, ou x: x+ d - b :: y y : y y + dxy bpm2 on aura, en éga

*

by

byy

lant ces deux valeurs de pm2, l'équation y

byy

dyy

x

bbyy

byyyy_b27622, ou tranfpofant & réduifant —

4x x

x

bbyy en ôtant les fractions, (171) & divifant les deux

4xx

membres par yyx, 4dx=bb: donc puisque G R =b, GR2 = 4 dx; ce qui reftoit à démontrer.

549. Il fuit du n°. précédent & du n°. 534. que dans la parabole les diametres ont les mêmes propriétés que

les axes.

DE L'ELLIPSE.

DEFINITIONS.

560. L'Ellipfe eft une courbe SMD sdZS telle que Fig. 5. là somme MF + Mf des diftances de chacun de fes points, comme M, aux deux points déterminés F,f, qu'on appelle foyers, est toujours la mêmë.

$61. Et par conféquent pour décrire une ellipfe, il fuffit de fixer à deux points quelconques F,ƒ les deux extrémités d'un fil plus long que la diftance Ff de ces points, & de faire rouler autour d'eux un ftile qui tienne toujours le fil tendu; la trace du ftile formera une ellipfe; car dans ce cas la fomme des diftances du ftile aux deux foyers eft toujours la même, puifqu'elle eft toujours égale à la longueur du fil.

562. La droite Ss, qui paffe par les deux foyers Ff, s'appelle le grand axe de l'ellipfe. La droite D d, qui divife perpendiculairement en deux parties égales la diftance F,f des foyers, eft le petit axe. Le point d'interfection C des deux axes eft le centre, Ff l'excentricité; une droite M O qui traverse l'ellipfe, en croifant les deux axes au centre, eft un diametre; un autre diametre K Z parallele à la tangente TA, qui paffe par l'origine M du premier diametre, s'appelle diametre conjugué au diametre M O. Les ordonnées, comme L V, à un diametre M O, devant être paralle les à la tangente qui paffe par l'origine de ce diametre (521), doivent donc être paralleles à fon diametre conjugué K Z.

$63. Une troifiéme proportionnelle aux deux axes, ou à deux diametres conjugués quelconques, s'appelle

le parametre du premier terme de la proportion; par exemple, fi l'on fait Ss. Dd.p, la ligne p fera le parametre du grand axe S s. Si on avoit Dd.Ss.q, la ligne q feroit le parametre du petit axe D d.

THEOREM E S.

564. La distance de chaque foyer au bout le plus proche. du grand axe Ss eft la même, ou FS=fs; car la fomme des distances du point S aux deux foyers eft 2 SFFf, & la fomme des diftances de s aux mêmes foyers eft 2 sf+Ff; ôtant de ces deux fommes égales (560) la partie commune Ff, il refte les quan tités égales 2 FS, 2 fs, & par conféquent F S=fs. 565. Donc le grand axe eft divifé en deux également par le petit axe, ou CSCs.

566. La fomme des diftances des deux foyers à chaque point M de l'ellipfe, eft égale au grand axe Ss; car la fomme des diftances de S aux foyers eft SF + SP✈ Ff, ou (564) SF+sf+Ff, ou Ss; & la fomme des distances des deux foyers à chaque autre point de la courbe eft la même (560). Donc, &c.

567. La distance du bout du petit axe à un des foyers eft égale à la moitié du grand axe; car Fd+fd=Ss (566); & d'ailleurs Fd=fd, puifque le point C de la perpendiculaire d D étant auffi éloigné de F que def, le point d doit l'être auffi: donc Fd, oufd Ss = CS (565).

568. Pour la même raifon une ligne tirée defen D feroit égale à CS, & formeroit par conféquent le triangle fC D égal en tout au triangle fC d: donc on auroit CD Cd: donc le petit axe eft divifé en deux également par le grand axe.

569. Il est évident par le n°. 567. qu'une ellipfe étant donnée, pour en trouver les foyers, il faut du bout

du petit axe porter fur le grand axe deux droites égales, chacune au demi-grand axe. Leurs points de rencontre avec le grand axe feront les foyers.

570. Je ferai dans la fuite le demi-grand axe CS, ou Csa, le demi-petit axe CD, ou Cd=b, le parametre du grand axep, la demi-excentricité CF, ou Cfc, l'ordonnée M P = la partie C P du grand axe, comprife entre le centre C & l'ordonnée =x: on aura donc SPa—x, SP = a+x, FP =c−xfP=c+x, sf, ou SF-a-c,s Fou Sf =a+c, & puifque FM+fM 2a (566); si on fait =2z la différence de FM à ƒ M, on aura (177)ƒM = a + z, & F Ma-z. Il faut fe rendre familieres toutes ces dénominations.

571. Le quarrébb du demi-petit axe eft égal au produit a acc des diftances ac, ac d'un des foyers aux bouts du grand axe; car le triangle rectangle Fcd donne c d Fd2Fc2, ou (570) bb a acc. 572. L'équation à l'ellipfe eft aayy=aabb—bbxx ou yy=bb ; car à caufe des triangles rectangles FPM,ƒPM, on a 1o. F P2+P M2=F M2, 2°.fp2 +PM2=ƒM2, ou en termes algébriques (570): 1o. › cc− 2cx+xx+yy=aa→ 2ax+22

2

b b x x

a a

2°. cc+2cx+xx+yy=da+zazzz.

Cx

ccxx

Otant la premiere de ces équations de la feconde, le premier membre du premier, le fecond du fecond refte 4 cx=4az: donc z= , mettant & *** au lieu de z & de z z dans la premiere des équations précédentes, on a cc-2ex+xx+yy=aa—2cx+ ****. Otant la fraction, transposant & réduisant, on a aa yy—a—aa cc-aa xx+cc xx, & divifant chaque membre par aa-cc, aayy=aa-xx, ou ( à cause de

xx