Fig.59. 612. Un fecteur elliptique Cs Z eft au secteur circulaire correfpondant CsQ, comme le petit axe eft an grand axe; car la fomme des ordonnées à l'ellipfe, qui compofent l'efpace sXZ, eft à la fomme des ordonnées au cercle qui compofent l'efpace s XQ, comme Z X eft à QX; de même les deux triangles CXZ, CXQ de même base C X, font entr'eux comme leurs hauteurs ZX, QX: donc CXZ:CXQ::sX Z: s X Q, ou (131) C XZs X Z: CXQ+ sXQ :: sXZs XQ, ou enfin CsZ: CsQ:: SXZ:sXQ::XZ:XQ::CD:CA::dD: a A. 613. Et comme le fecteur circulaire CsQ est égal au demi-produit de l'arc s Q par le rayon CA, le fecteur elliptique CsZ eft égal au demi produit du même arcs Q par le petit axe CD ; car

SQ × CA $QxCD

CA:CD:: CsQ: CsZ: donc puifque

:

2

$QxCA

·

SQxCD

CsQ, on a auffi

C & Z.

DE L'HYPERBOLE.

DEFINITION S.

Fig. 603 614. L'Hyperbole eft une courbe MSR, telles que la différence Mf M F des diftances de chacun de fes points, comme M aux deux points déterminés F, f, qu'on appelle foyers, est toujours la même.

615. Il est évident qu'en faifant la diftance ƒ M la plus courte, on pourra trouver autour de ƒ une feconde hyperbole NO entierement égale & femblable à la premiere ces deux courbes s'appellent hyperboles opposées.

616. Si l'on fait paffer une droite Ff par les foyers) la partie Ss de cette droite comprise entre les hyperboles oppofées, s'appelle le premier axe de l'hyperbole. La droite D d qui divife perpendiculairement en deux parties égalés la diftance Ff des foyers, & telle que des lignes SD, Sa tirées de S à fes deux bouts, foient égales chacune à CF, eft le fecond axe. Le point d'interfection C des deux axes eft le centre, Ffl'excentricité. La perpendiculaire M P au premier axe prolongé, eft une ordonnée à ce premier axe, PS, ps en font les abciffes. La perpendiculaire MG au fecond axe prolongé, s'il eft néceffaire, eft une ordonnée au second axe; les abtiffes font G D, Gd.

617. Soit tirée par le point S une perpendiculaire Ee à Cp, dont les parties SE, Se foient égales à CD ou à Cd. On appelle afymptotes des hyperboles oppofees MSR, Ns O, les droites indéfinies B Ce,bCE, qui paffent par le centre C & par les points E e, ou, ce qui revient au même, qui paffent par le centre C & qui font paralleles aux droites S D, Sd; car le triangle CDE étant égal en tout au triangle CdS, leurs angles homologues ECD, SdC font égaux, & ces angles étant correspondans par rapport à la fécante Dd, les lignes EC, Sd font paralleles; il en est de même des droites SD, e C.

618. L'angle eCE fait au centre par les afymptotes diminue ou augmente felon que le premier axe de l'hyperbole eft plus ou moins grand, le fecond axe demeurant le même; car la moitié SCE de cet angle diminue évidemment à mesure que SC s'allonge (277), SE de'meurant le même ; & lorfque S CSE, l'angle SCE eft de 45°, l'angle total F Ce eft droit, & DESC eft un quarré dans ce cas les hyperboles MSR, NSO s'appellent équilateres.

619. Si l'on prend fur le petit axe prolongé les Fig. 61.

droites CY, Cy égales à CF ou à SD, les points Y,y pourront être les foyers de deux nouvelles hyperboles oppofées K D, Zd, qui à cause de DS=CY, auront D d pour premier axe, Ss pour fecond axe : on les appelle hyperboles conjuguées aux deux premieres, & réciproquement celles-ci font conjuguées aux deux

autres.

620. Si par les points D, d on fait paffer deux perpendiculaires à D d égales chacune à Ss, elles abou tiront aux points B, E & b, e, elles formeront un rectangle B E, eb, les droites BD, DE, bd, de, Cs, C S feront égales entr'elles : donc (617) les afymptotes BCc, bCE des hyperboles oppofees MS, Os font auffi les afymptotes des hyperboles conjuguées KD, Zd.

621. Il est évident que DESC eft un rectangle, dont les diagonales font par conféquent égales & fe divifent au centre I en parties égales. Le quarré SI' de la moitié SI d'une de ces diagonales S D, s'appelle la puissance de l'hyperbole M S.

622. Une droite MO, tirée d'un point quelconque d'une hyperbole MS à fon oppofée Os, en paffant par le centre, eft un diametre. Le diametre K Z des hyperboles conjuguées, parallele à la tangente t A, qui paffe par l'origine M du premier diametre M O, eft un diametre conjugué au diametre MO. Une droite LV, tirée d'un point quelconque L d'une hyperbole au diametre MO prolongé, fi elle eft parallele à fon diametre conjugué KZ, ou à la tangentet A, qui paffe par l'origine M du premier diametre, eft une ordonnée à ce diametre: les droites VM, VO en font les abciffes.

623. Une troifiéme proportionnelle aux deux axes, ou à deux diametres conjugués quelconques, s'appelle le paramètre du premier terme de la proportion.

624. Et comme dans l'hyperbole equilatere les deux

axes font égaux, le parametre ne differe pas de Pun des axes.

Propriétés de l'hyperbole confidérée par rapport à fes axes.

THEOREME S.

625. LA distance de chaque foyer au bout le plus proche du premier axe Ss eft la même, ou FS=fs; car Fig. 601. SfSF SF-sf(588), ou bien Ss+sfS F =Ss+SF sf; ôtant Ss des deux membres, & tranfpofant $f=SF.

SF & sf, on a isf=2SF, ou

626. Donc le premier axe eft divifé en deux également par le fecond, ou CSCs: & pour la même raifon Fig. 612 CD Cd.

627. Et par conféquent fi on mene fur les deux bouts du fecond axe D'd les perpendiculaires BE,be, on a le rectangle BEeb, qui eft divifé par les deux

axes en quatre rectangles égaux en tout.

628. La différence des distances des deux foyers à cháque point M de l'hyperbole eft égale au premier axe Ss; Fig. 60a car la différence des distances des deux foyers au point S, eft Ss+sf SF, ou ( 625 ) S $ + s ƒ — sf, ou Ss; & cette différence eft la même pour tous les points de la courbe (614).

629. Je ferai dans la fuite, comme pour l'ellipfe (570), le demi-premier axe CS, ou Csa, le demi-fecond axe CD, ou C db, le parametre du premier axep, la demi-excentricité C F ou Cfc, l'ordonnée M Py, la moitié du premier axe prolongé en P, c'est-à-dire CPx: on aura donc S P

➡x—a, s P —x+a, FP=x— c,ƒP=x+ c, sf ou SF c-a, sF ou Sf=c+ a ; & puifque fMF M 2a (628), fi on fait la fomme fM+FM22, on aura (177) ƒM& +a, & FM=za.

REMAR QUE.

630. En comparant les expreffions algébriques de quelques-unes de ces dernieres lignes avec les expreffions de leurs femblables dans l'ellipse ( 570), on voit qu'elles different par les fignes; d'où on peut déja conjecturer que l'équation à l'ellipfe & à l'hyperbole, auffi bien que les expreffions de la plupart de leurs dimenfions homologues, ne different auffi que par les fignes. Nous allons nous en afsurer dans les théorêmes fuivans.

631. Le quarré bb du demi-fecond axe eft égal au produit cca a des distances ca, c-a d'un des foyers F aux deux bouts s S du premier axe; car le triangle rectangle S CD donne C D2—S D2—S C2, ou (629) bb = cc-aa.

bb x x

a a

632. L'équation à l'hyperbole eft aayy=bbxx-aabb, ou yy= bb. La démonftration eft la même que pour l'équation à l'ellipfe (572), excepté qu'au lieu de faire la derniere divifion par aa-cc, il faut la faire par ce-a a, à qui il faut enfuite fubftituer bb, qui lui eft égal ( 631 ).

633. Gardant les mêmes dénominations qu'on l'a fait pour l'ellipfe no. 573, excepté que G D=y—b, on trouve par les mêmes opérations que l'équation au Second axe de l'hyperbole eft bbxx=aayyaabb, ou xx="41"+aa, & en changeant ces dénominations, comme on l'a fait dans le même no. on trouve

aayy