j'écris au quotient; je multiplie le divifeur par a2, & je fouftrais le produit de A, en l'écrivant au deffous, après en avoir changé les fignes, ce qui donne B; je réduis A & B, j'ai C, que je divife par Den cette forte, a ab, que j'écris au quotient ; je multiplie ce divi feur ab2 donne F, que je divise par D, en difant, - 2 a = b2; multipliant D par b & changeant les fignes, j'ai G; F & G fe réduifent à zero: donc Qeft le vrai quotient de A par D. Voyez encore l'exemple 38. 38e exemple. 4a2b2 — 9b2c2+24b c2 d — 1 6c2 d2 S2 ab—3bc+4cd. D -4a2b2+ 6 a b2 c — 8 a b c d 2ab+3bc-4cd 6c2ð2 +6 ab2 c — 8 a b c d —9 b2 c2+24bc2d — 16c2 d2 - 61. Dans ces fortes de Divifions on pourroit être embarraffé pour trouver quel eft le terme du dividende qui doit être divifé par le premier terme du divifeur; mais afin que ce terme fe trouve toujours le premier dans le dividende, il faut ordonner le divifeur & le dividende, foit total ou partiel par rapport à la même lettre, c'eft-à-dire placer les premiers les termes où cette lettre a le plus grand expofant. Il arrive fouvent que la Divifion de deux polinomes & même de deux monomes ne peut pas fe faire exactement : nous verrons dans les fractions (85) ce qu'il faut faire dans ces cas. LEÇON TROISIE ME. De la formation des Puiffances & de l'extraction des Racines. Régles de la formation des puissances. 62. LA premiere puissance d'une grandeur eft cette grandeur même; la feconde puiffance ou le quarré eft le produit de cette grandeur par elle-même; la troifiéme puissance ou le cube eft le produit de cette grandeur par fon quarré; la quatrieme puissance eft le produit de cette grandeur par fon cube, ainfi du refte. Les puiffances fucceffives des grandeurs P font donc les quantités qui leur répondent dans les rangs S, T, Q. 63. D'où il fuit, que pour élever un monome à une puiffance quelconque, il faut 1. s'il eft négatif, donner le figne à fa feconde, quatrième, fixiéme puiffance, & en général à toutes fes puiffances paires, & le figneà fes puiffances impaires: 2°. foit que le monome foit pofitif ou négatif, élever fon coefficient à la puissance demandée felon la méthode de l'article 62: 30. multiplier l'expofant de chaque lettre par l'exposant de la puissance demandée, c'est-à-dire par le nombre qui marque le degré de cette puiffance; car en opérant ainfi, on trouve la même quantité que fi on faifoit paffer le monome en queftion fucceffivement par toutes les puiffances qui précédent celle qu'on demande, comme on peut s'en convaincre par les exemples précédens. * 64. Le quarré d'un binome quelconque eft compofe du quarré de chaque terme, plus du produit du fecond terme par le double du premier ; car en multipliant le binome a+b par lui-même, on trouve pour fon quarré l'expreffion a+2ab compofée du quarré de a, du quarré de b, & du produit de b par 2a; & comme a-+-b peut exprimer tout binome, a2+2ab+b2 peut exprimer le quarré de tout binome. Donc, &c. D'où il fuit, que pour élever un binome 3 a2d-bc3 à fon quarré, il faut prendre d'abord le quarré 9 ad2 du premier terpuis le produit -Ga2dbc3 du double 6a2 d du premier terme par le fecond; enfin le quarré + b2 c3 ̈ du fecond terme; la fomme 9ad26 a2 d b c 3 + b2 c° de ad2 ces trois produits fera le quarré cherché. me, * 2 du 6.5. Le quarré de tout polinome eft compofé du quarré de la fomme de tous fes termes, excepté le dernier, produit du dernier terme par le double de cette fomme & du quarré du dernier terme; car tour polinome peut être regardé comme un binome,. dont la famme des térmes, excepté le dernier, eft le premier terme, & dont le dernier terme eft le fecond: d'où il fuit, que pour élever un polinome quelconque, par exemple un trinome a+b+c à fon quarré, il faut prendre le quarré a2 2ab+b2 de la fomme a+b de tous fes termes, excepté le dernier, le produit du dernier terme c par le double -2a+2b de cette fomme, c'est-à-dire, 2 ac+2bc, 2 enfin le quarré c2 du dernier terme C; la fomme a2+ 2ab+b2 + 2 ac+2bc+c2 de tous ces produits fera le quarré cherché. Régles de l'extraction des racines des Monomes & de l'extraction de la racine quarrée des Polinomes. 1 66. La A quantité dont le produit par elle-même a formé le quarré, en est la racine quarrée ; & la quantité qui multipliée par fon quarré a formé le cube, en eft la racine cubique, ainfi des autres. Les quantités P dans l'article 62. font donc les racines quarrées des termes qui leur répondent dans le rang S; les racines cubiques de ceux qui leur répondent dans le rang T, les racines quatrièmes de ceux qui leur répondent dans le rang Q. 67. L'extraction des racines des monomes a trois régles, celle des fignes, celle des coefficients, & celle des expofans. 1o..Ùn monome pofuif a toutes fes, racines paires pofitives ou négatives, fes racines impaires ne peuvent être que pofitives; ainfi la racine quatrième de ta est également a oua; fa racine quarrée eft également 2 ou a2; mais la racine troifiéme ou cubique de + a3 n'eft que a; cara donneroit à fon cube-a3 &c non+a3, puifque — ax―a=+a2,&+a2x — › ‹a=—a3 ; mais a2 & a donnent également à leur quarré, a& -a donnent également a1 à leur quatrième puiffance; mais un monome négatif a fes racines impaires négatives, & n'a point de racine paire. Ainfi la racine troifiéme de a3 efta; mais la racine quarrée de―a'n'eft nia nia; puisque le quarré de l'un & de l'autre eft a2. 2o. Il faut extraire du coefficient du monome la racine demandée à la façon des nombres; car en élevant enfuite cette racine à une puiffance du même degré, on retrouvera néceffairement le coefficient du monome propofé. 3. Il faut divifer l'expofant de chaque lettre par l'expofant de la racine demandée; car pour élever un monome m à fa quatriéme puiffance M, il faut multiplier l'expofant de chaque lettre de m par 4 (63): donc il faut divifer tous les expofans du nouveau monome M par 4 (39), pour retrouver ceux de m, qui eft la racine qua triéme de M. 68. Lorsque la divifion des expofans, où l'extraction de la racine du coefficient ne pourra pas fe faire exactement, on ne pourra pas extraire la racine du monome propofé: on ne fait dans ce cas que l'indiquer par le figne radical ; ainfi a', ou plus fimplement as exprime la racine quarrée de a', Vas en exprime fa tacine cubique. * 69. Soit maintenant à extraire la racine quarrée du polinome A (39° ex.), j'extrais d'abord la racine quarrée du pre mier termer a2, j'ai a que j'écris en R ; je le quarre, & je fouftrais le quarré ? ? du premier terme de A, en écrivant au deffousa, refte+2ab+ba; je dis enfuite, le premier terme 2 ab de ce refte eft néceflairement le produit du double du premier terme a de la racine par le fecond (64) que je ne connois pas encore ; je le connoîtrai en divifant le terme 2 ab par za double de a |