j'écris au quotient; je multiplie le diviseur par a2, & je soustrais le produit de A, en l'écrivant au dessous, après en avoir changé les signes, ce qui donne B; je réduis A & B, j'ai C, que je divise par Den cette forte,

a2b

a

= ab, que j'écris au quotient ; je multiplie ce diviseur par ab, je change les signes du produit pour le soustraire de C, j'ai E; la réduction de C & de E

donne F, que je divise par D, en disant,

2

ab2

a

= b2;

multipliant D par b1 & changeant les signes, j'ai G; F & G se réduifent à zero: donc Qest le vrai quotient de A par D. Voyez encore l'exemple 38.

4a2b2-962 c2+24bcd-16c2 d2 2ab3bc4cd. D

38o exemple.

Szab.

-4a2b+6abc-8abcd

(2ab+3bc-4cd

+6abc-8abcd-9b2c2+24bcd-16c2d2

-6ab2 c+ b2 c2 - 12 bo2 d

9

-8abcd+126c2d - 16 c2 d2 +8abcd-126c2+16 c2 d2

61. Dans ces fortes de Divisions on pourroit être embarraffé pour trouver quel est le terme du dividende qui doit être divisé par le premier terme du diviseur; mais afin que ce terme se trouve toujours le premier dans le dividende, il faut ordonner le diviseur & le dividende, foit total ou partiel par rapport à la même lettre, c'est-à-dire placer les premiers les termes où cette lettre a le plus grand exposant.

Il arrive souvent que la Division de deux polinomes & même de deux monomes ne peut pas se faire exactement : nous verrons dans les fractions (85) ce qu'il faut faire dans ces cas.

De la formation des Puissances & de l'extraction des Racines.

1

:

Régles de la formation des puissances. 62. La premiere puissance d'une grandeur est cette grandeur même; la seconde puissance ou le quarré est le produit de cette grandeur par elle-même ; la troisiéme puissance ou le cube est le produit de cette grandeur par son quarré; la quatrième puissance est le produit de cette grandeur par fon cube, ainsi du refte. Les puifsances successives des grandeurs P font donc les quantités qui leur répondent dans les rangs S, T, Q.

:

..

-27bd..

+a+ +162616 +81b+d

63. D'où il fuit, que pour élever un monome à une puissance quelconque, il faut 1o. s'il est négatif, donner le signe + à sa seconde, quatrième, sixiéme puiffance, & en général à toutes ses puissances paires, & le figneà ses puissances impaires : 2o. foit que le monome foit positif ou négatif, élever son coefficient à la puissance demandée selon la méthode de l'article 62: 3°. multiplier l'expoSant de chaque lettre par l'exposant de la puissance demandée, c'est-à-dire par le nombre qui marque le degré de cette puissance; car en opérant ainsi, on trouve la même quantité que si on faisoit paffer le monome en question successivement par toutes les puissances qui précédent celle qu'on demande, comme on peut s'en convaincre par les exemples précédens.

a+b

* 64. Le quarré d'un binome quelconque est composé du quarré de chaque terme, plus du produit du second terme par le double du premier ; car en multipliant le binome a+b par lui-même, on trouve pour fon quarré l'expreffion a2+2ab composée du quarré de a, du quarré deb, & du produit de b par 2a; & comme peut exprimer tout binome, a2+2ab+b2 peut exprimer le quarré de tout binome. Donc, &c. D'où il fuit, que pour élever un binome za2d-bc3 à fon quarré, il faut prendre d'abord le quarré 9 ad2 du premier terme, puis le produit - 6 a2 dbc3 du double Ga2d du premier terme par le second; enfin le quarré + b2 co du fecond terme ; la somme 9 ad2- -6a2 dbc3+600 ces trois produits fera le quarré cherché.

2

de

* 65. Le quarré de tout polinome est composé du quarré de la somme de tous ses termes, excepté le dernier, du produit du dernier terme par le double de cette somme & du quarré du dernier terme; car tout polinome peut être regardé comme un binome, dont la-famme des termes, excepté le dernier, est le premier terme, & dont le dernier terme est le second: d'où il suit, que pour élever un polinome quelconque, par exemple un trinome a+b+c à fon quarré, il faut prendre le quarré a 2ab+b2 de la somme a + b de tous fes termes, excepté le dernier, le produit du dernier terme c par le double 2a+26 de cette somme, c'est-à-dire, 2 ac+2bc,

2

2

Somme a2+

enfin le quarré c2 du dernier terme C; la 2ab+b2+2ac+2bc+c2 de tous ces produits fera le quarré cherché.

Régles de l'extraction des racines des Monomes & de l'extraction de la racine quarrée des

Polinomes.

66. La quantité dont le produit par elle-même a formé le quarré, en est la racine quarrée ; & la quantité qui multipliée par son quarré a formé le cube, en est la racine cubique, ainsi des autres. Les quantités Podans l'article 62. font donc les racines quarrées des termes qui leur répondent dans le rang S; les racines cubiques de ceux qui leur répondent dans le rang T, les racines quatrièmes de ceux qui leur répondent dans le rang Q.

67. L'extraction des racines des monomes a trois régles, celle des signes, celle des coefficients, & celle des exposans.

-ax

ax

1o. Un monome positif a toutes ses racines paires positives ou négatives, ses racines impaires ne peuvent être que positives; ainsi la racine quatrième de + a + est également + a ou-a; fa racine quarrée est également + ou - a2; mais la racine troifiéme ou cubique de + a3 n'est que +a; car - a donneroit à fon cube-a3 & non + a3, puisque -a=ta2, & + a=-a3; mais = a2 & -a donnent également+a à leur quarré, ++ & -a donnent également + atà leur quatrième puissance; mais un monome négatif a ses racines impaires négatives, & n'a point de racine paire. Ainsi la racine troifiéme de-a eft-a; mais la racine quarrée de a2 n'est nia ni - a; puisque le quarré de l'un & de l'autre eft + a2.

2

28. Il faut extraire du coefficient du monome la racine demandée à la façon des nombres; car en élevant enfuite cette racine à une puissance du même degré, on retrouvera nécessairement le coefficient du monome proposé.

3°. Il faut diviser l'exposant de chaque lettre par l'exposant de la racine demandée; car pour élever un monome m à sa quatrième puissance M, il faut multiplier l'exposant de chaque lettre de m par 4 (63): donc il faut diviser tous les exposans du nouveau monome M par 4 (39), pour retrouver ceux dem, qui est la racine quatriéme de M.

68. Lorsque la division des exposans, ou l'extraction de la racine du coefficient ne pourra pas se faire exactement, on ne pourra pas extraire la racine du monome proposé: on ne fait dans ce cas que l'indiquer par le signe radical ; ainsi a', ou plus simplement √ as exprime la racine quarrée de as, as en exprime la tacine cubique.

quarrée du premier termer a2

a2

(2ab+b2 P.

j'ai a que j'écris en R; je le quarre, & je soustrais le quarréa du premier terme de A, en écrivant au deffous - a2, reste + 2ab+b2; je dis ensuite, le premier terme 2 ab de ce reste est nécessairement le produit du double du premier terme a de la racine par le second (64) que je ne connois pas encore ; je le con

noîtrai en divisant le terme 2 ab par za double de a (39)