(39); le quotient eft + b que j'écris en R ; je multiplie 2 a par b & je quarre b, ou, ce qui revient au même, je multiplie 2a+b par b, & je fouftrais le produit P du refte de A, il ne refte rien; d'où je conclus que A eft le vrai quarré de R (64), puifqu'il contient le quarré de a, le produit de 2a par b & le quarré de b; car on a souftrait de A tous ces produits.

De même pour extraire la racine quarrée de A (40° ex.), je dis √ 25 a+ c2 d2 = sa2c d2, (67) je l'écris en R, je le quarre, & je fouftrais ce quarré de 25 at c2 d3, restent les deux derniers termes de A ; je double sa cd, en doublant fon coefficients, j'ai 10a2cd -30a2b3c'd?

que j'écris au deffous: je dis enfuite,

10a2 c d + — — 3 b 3 c d 4 que j'écris en R, à côté de 10 a' c d + & au deffous, pour fervir de multiplicateur à D; le produit eft P, qui étant fouftrait du refte de A, le détruit entierement; d'où je conclus pour la même raison que dans l'exemple précédent, que R eft la vraie racine quarrée de A.

* 70. Enfin foit le polinome A (41 ex.) dont il faut extraire la racine quarrée; je trouve d'abord a+b à la racine, comme dans l'exemple 39, & le refte 2 a6 +2 b c +ċ2; je regarde ab comme faifant le premier terme d'une racine qui doit en avoir un fecond & partant je double a+b, j'ai 2a+2b que j'écris au

deffous de P, & je divife par 2 a le premier terme 2 ac du refte de A; le quotient eft c que j'écris en R, en D & au deffous de D, pour lui fervir de multiplicateur; le produit eft E, qui étant fouftrait du refte de A, le détruit entierement; d'où je conclus que le polynome A eft le vrai quarré du trinome R (65), puifqu'il contient le quarré a2 + 2 ab + b2 de la fomme a+b de ces deux premiers termes, le produit du double de cette fomme par le dernier terme e & le quarré c' du dernier terme.

A.

41° exemple.

a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 (a+b+c.R

— a2 — 2ab —b2 — 2ac — 2bc ・c2 2a+b

b

2ab+b2 P

2a+2b+cD

C

2ac+2bc+c2E

Si le polynome A n'eût pas été épuifé par la fouftraction de E, j'aurois doublé les trois termes trouvés, en les regardant comme le premier terme d'une racine qui doit en avoir un fecond, & j'aurois continué l'opération à l'ordinaire; mais lorsqu'on parvient à un refte de foustraction qui n'est point divisible par le double du premier terme de la racine, on ne peut plus continuer l'opération, & la racine trouvée n'eft pas

exacte.

Régles de l'extraction de la racine quarrée des nombres.

71.

L

Es nombres Q font les quarrés des nombres N qui leur répondent :

3 4 5 6 7 8 9 10
9 16 25 36 49 64 81

100

c'eft ce qu'il faut fçavoir avant d'extraire la racine quarrée des nombres compofés qui font au dessus de

100.

* 72. Un nombre quelconque ne peut avoir à fon quarré plus que le double de fes chiffres; car le quarré de 9, le plus grand des nombres fimples, eft moindre que 100, le plus petit des nombres à trois chiffres, puifque 100 eft le quarré de 10; le quarré de 99, le plus grand des nombres à deux chiffres, eft moindre que 10000, le plus petit des nombres à cinq chiffres, puifque 10000 eft le quarré de 100; le quarré de 999,le plus grand des nombres à trois chiffres, eft moindre que 1000000, le plus petit des nombres à fept chiffres, puifque 1000000 eft le quarré de 1000. On peut aifément continuer ce raifonnement. Donc, &c.

*73. Si l'on partage par des virgules un nombre quelconque, 3, 45, 67, 02, en allant de droite à gauche, en tranches compofées chacune de deux chiffres, excepté la premiere qui peut n'en avoir qu'un; je dis qu'il ne peut avoir à fa racine quarrée ni plus ni moins de chiffres qu'il a de tranches.

1o. Ce nombre ne peut avoir plus de chiffres à fa racine quarrée qu'il n'a de tranches; car le quarré de 10 eft de deux tranches ; à plus forte raifon les quarrés des nombres depuis 10 jufqu'à 100 exclufivement auront auffi deux tranches. Le quarré de 100 eft de trois tranches, à plus forte raifon les quarrés des nombres depuis 100 jufqu'à 1000 exclufivement en ont auffi trois, ainfi du refte : donc il ne peut y avoir moins de tranches au quarré que de chiffres à la racine, ou, ce qui revient au même, plus de chiffres à la racine què de tranches au quarré.

2o. Il ne peut y avoir moins de chiffres à la racine

爵

que de tranches au quarré : ainfi un nombre à quatre tranches ne peut avoir feulement trois chiffres à la racine; car un nombre à quatre tranches a au moins fept chiffres ; & s'il n'en avoit que trois à la racine, cette racine auroit à fon quarré plus que le double de fes chiffres, ce qui eft impoffible (72). Donc, &c. 74. Soit maintenant à extraire la

racine quarrée de 625 ( 42o ex. ) ; je

4, dont

42° ex.

625

4

25

45

225

225

225

divife 625 en deux tranches, d'où je conclus que la racine fera de deux chiffres, & je dis, le plus grand quarré contenu dans 6 est la racine eft 2, que j'écris ; j'éléve 2 à fon quarré 4, que je fouftrais de 6, refte 2 ; j'abbaiffe à côté de ce 2 la feconde tranche 25, ce qui donne 225; j'écris au deffous de 2 trouvé à la racine fon double 4, & je commence ainfi la divifion de 225 par 4,225 que j'écris à la racine, à côté de 4 & au deffous, pour fervir de multiplicateur à 45 le produit eft 225; je fouftrais ce produit de 225, il ne reste rien: donc 25 eft la vraie racine de 625; car j'ai fouftrait de 625 le quarré 400 du premier terme 20 de la racine, & la fomme 225 compofée du produit de 40, double du premier terme 20 de la racine, par le fecond termes, & du quarré de §.

* 75. Enfin foit à extraire la racine quarrée du nombre A A (43 ex.); je le divife en quatre tranches, d'où je conclus que fa racine aura quatre chiffres (73), & je dis, le plus grand quarré conte

124

10, 27, 84, 79

3206. R.

9.

D.... 38479
38436

nu dans 10 eft 9, dont la racine eft 3, que j'écris ; je dis enfuite, 3x3=9,9-10=1, -10=1, j'abbaiffe à côté de I la feconde tranche 27, ce qui donne B; j'écris 6 au deffous de 3, & je dis, 12 =2 que j'écris en R, à côté de 6 & au deffous, pour fervir de multiplicateur à 62; le produit eft C, que je fouftrais de B, refte 3; j'abbaiffe à côté de 3 la troifiéme tranche, ce qui donne 384; j'écris en E 64, double de 32 trouvé à la racine, & je commence ainfi la divifion de 384 par 64, 38=6; mais je remarque que 64 fuivi de l'unité forme un tout 641 plus grand que 384, (d'où je conclus qu'il faut écrire un zero à la racine, puifque autrement elle ne feroit compofée que de trois chiffres, au lieu qu'elle doit l'être de quatre (73), à plus forte raison 6 écrit à côté de 64 & au deffous, pour fervir de multiplicateur à 646, donneroit un produit plus grand que le dividende partiel 384il eft donc néceffaire dans l'extraction des racines, comme dans la divifion, d'éprouver chaque chiffre trouvé à la racine, & de le diminuer toujours d'une unité, s'il eft trop grand, jufqu'à ce qu'en l'écrivant à la fuite du double des chiffres trouvés à la racine, & multipliant le tout par ce même chiffre, le produit n'excéde pas le membre de divifion fur lequel on opére ; & fi l'unité eft un quotient trop grand, il faut écrire zero à la racine &abbaiffer une autre tranche. J'abbaiffe donc à côté de 384 la derniere tranche, j'ai D; j'écris en E 640, double des chiffres 320 trouvés à la racine, & je dis, 3=6, qui n'eft pas trop grand, puifque étant écrit à la fuite de 640 & au deffous, pour fervir de multiplicateur à E, le produit P n'eft pas plus grand que D: je fouftrais donc P de D, refte 43; d'où je conclus que R eft la vraie racine de A-43, & partant qu'elle n'eft pas la racine exacte de A tout entier.

3.8