76. UNE fraction en général n'eft autre chofe que deux grandeurs a & b, dont la division est indiquée en cette forte, Dans ce cas a s'appelle le numérateur b le dénominateur de la fraction. Elle eft proprement ou improprement dite, felon que le numérateur est moindre ou plus grand que le dénominateur; d'où il fuit qu'une fraction proprement dite eft moindre que l'unité 2 puifque fon dénominateur n'eft pas contenu même une fois dans le numérateur.

77. Le numérateur d'une fraction exprime le nombre des parties de l'unité que vaut cette fraction le dénominateur en marque l'espéce. Ainfi dans la fraction le dénominateur 6 marque un fixiéme de l'unité, & le numérateur 3 exprime le nombre des fixiémes qui font la valeur de la fraction; enforte que vaut trois fixiemes de l'unité; car vaut la fixiéme partie de trois unités ; puifque pour avoir la fixième partie de il faudroit le divifer par 6 (41) or il eft évident que la fixième partie de trois unités, ou trois fois la fixième partie d'une unité, font la même chofe. Pour la même raifon la fraction improprement dite vaut fix tiers d'unité, ou deux unités. Nous énoncerons donc les fractions ,,,,&c. par ces mots, deux tiers, trois quarts, quatre cinquièmes, un douziéme &c. de l'unité.

2 3

34

78. Les dénominateurs de deux fractions étant égaux, celle qui a un plus grand numérateur eft dans la même proportion plus grande; & les numérateurs étant égaux, celle qui a le dénominateur plus grand eft dans la même proportion plus petite: ainfi eft double de, & n'eft que la moitié de; car dans le premier cas l'efpece des parties de l'unité que valent les deux fractions eft la même; mais le nombre de ces parties dans la fraction qui a un plus grand numérateur eft dans la même portion plus grand (77) ; & dans le fecond cas le nombre des parties de l'unité que valent les deux fractions eft le même; mais l'efpéce de ces parties, dans la fraction qui a un plus grand dénominateur, eft dans la même proportion plus petite (77).

pro

79. La valeur d'une fraction ne change pas, foit qu'on en multiplie ou qu'on en divife les deux termes par une 2 2×4 8 même quantité: ainfi

-=

=

3 3×4 I 2

& réciproque

ment; car dans le premier cas autant que le nombre des parties de l'unité que vaut la fraction eft augmenté par la multiplication du numérateur, autant l'efpéce de ces parties devient plus petite par la multiplication du dénominateur ; & dans le fecond cas autant que le nombre des parties de l'unité que vaut la fraction devient plus petit par la divifion du numérateur, autant l'efpece en devient plus grande par la divifion du dénominateur.

DE LA RÉDUCTION.

80. ON fait fubir par la réduction divers changemens aux deux termes d'une fraction, fans en changer la valeur. Ainfi la réduction eft bonne toutes les fois

que

la valeur de la fraction ou de la grandeur qu'on réduit demeure la même après la réduction qu'aupa

Tavant.

81. On peut réduire tout entier en fraction en lui donnant l'unité pour dénominateur: ainfi 4 peut être réduit

à; car #4.

* 82. Pour réduire un entier b en fraction avec un dénominaleur déterminée, il faut multiplier b par ce dénominateur, & mettre le produit bc en fraction fur le dénominateur donné ; car = b.

C

b

83. Pour réduire en une fraction feule un entier joint à une fraction, comme a +, il faut mul iplier l'entier a Par le dénominateur c de la fraction, ajouter le produit ac au numérateur b, & donner à la fomme ac+b le dénominateur de la fraction; car

act b

C.

=a

b

84. Pour réduire plufieurs fractions au même dénominateur, il faut multiplier les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres. De cette façon on réduira ces trois fractions,à celles

ci

adf bdc bde

bdfbdfbdf; car ces trois dernieres fractions font égales aux trois premieres chacune à chacune, puisque les deux termes de chacune ayant été multipliés par la même quantité (fçavoir ceux de la premiere par df ceux de la feconde par bf, ceux de la troifiéme par b d,) elles ont toutes confervé leur premiere valeur (79). De même les fractions le réduisent à celles-ci 15 20 , qui ont le même dénominateur.

24

3030

* On réduirait plusieurs fractions au même numérateur, en multipliant les deux termes de chacune par le produit des numératurs des autres fractions.

* 85. Pour réduire une fraction à une expreffion plus Simple, il faut en divifer, s'il eft poffible, les deux termes

f 2

-en di

vifant les deux termes de la premiere par 2 b'c, ceux de la feconde par 2 ab, ceux de la troifiéme par ab; 3a2b3 cab3d-b3

& la fraction

3a2c+ad - I Ita'd

2

fe réduit à

b3+ a2b3 d
3

par

63

en divifant fes deux termes

* 86. Pour connoître tout d'un coup le diviseur commun des deux termes d'une fraction numérique, il fuffira d'obferver..... 1°. que tout nombre pair eft divifible par 2; & par conféquent fi les deux termes d'une fraction font des nombres pairs, il faut prendre la moitié de chacun, & continuer toujours ainfi la divifion, jufqu'à ce que l'un d'eux devienne impair : ainfi 64 devient fucceffivement 2, 16, 32

8

8

2°. Que tout nombre terminé par o eft divifible par 10 par 5; s'il eft terminé par 5, il eft divifible par s. Ainfi fe réduit à 4, & à.

40

3

3

39

3°. Que tout nombre tel que la fomme de fes chiffres eft 3,6,9, 12, 15, 18, &c. eft divifible par 3; ainfi 33 fe réduit à parce que la fomme des chiffres du numérateur eft 6, & celle des chiffres du dénominateur est 12.

,

DE L'ADDITION

DE LA SOUSTRACTION.

ET DE

87. La fomme des fractions & eft évidemment 1 leur différence eft ; & en général pour ajouter plu

fieurs fractions réduites au même dénominateur, ou pour les fouftraire l'une de l'autre, il faut donner à la fomme ou à la différence de leurs numérateurs le dénominateur commun. Si les fractions propofées ne font pas réduites au même dénominateur, il faut les y réduire (84). Ainfi pour ajouter les fractions, je les réduis à celles-ci

a d b c

d

bd bd ; & leur fomme fera

La fomme de ces deux-ci, fera

ou, leur différence fera-ou

* 88. S'il faut fouftraire une fraction d'une autre plus petite, mais précédée d'un entier, il faut réduire une unité de cet entier & Sa fraction en une fraction feule (83), é faire la fouftraction de ces deux fractions à l'ordinaire (87). Ainfi pour fouftraire de 3, je change 3 en 2+13, ou (83) en 2. Je fouftrais enfuite à l'ordinaire de la différence de ces fractions eft, & 3 ; la différence totale des grandeurs propofées eft 2 12

I

* 89. Pour fouftraire une fraction d'un entier, il faut réduire une unité de cet entier à & opérer enfuite à l'ordinaire.

*

90. Enfin pour ajouter deux entiers avec leurs fractions, ou pour les fouftraire l'un de l'autre, il faut écrire la somme, ou la différence des entiers à la tête de la fomme on de la différence des fractions qui les accompagnent.