DE LA MULTIPLICATION 91. ET DE LA DIVISION. POUR OUR multiplier une fraction par un entier, il faut en multiplier le numérateur, ou en divifer le dénominateur par cet entier; ainfi x 2 out; car pour multiplier ‡ = la fraction par 2, ou, ce qui revient au même, pour la rendre deux fois plus grande, il faut rendre fon numérateur deux fois plus grand, ou fon dénominateur deux fois plus petit (78). C'est donc multiplier une fraction par fon dénominateur que de l'effacer ; car xb=b =a.. 6 92. Pour multiplier une fraction par une autre, il faut mettre le produit de leurs numérateurs en fraction fur celui de leurs dénominateurs: ainfi & 3 × 2 = 1/2 ; car s'il falloit multiplier par 3, le produit feroit (91); mais le multiplicateur devenant le quart ou, le produit de par doit devenir quatre fois plus petit (22) que le produit de par 3 or pour rendre quatre fois plus petit, il faut multiplier le dénominateur par 4 (78), & par conféquent écrire de 3, 6 I 2 93. Mais pour divifer une fraction par un entier, il faut en divifer le numérateur, ou en multiplier le dénominateur par cet entier, ainfi 2ou; car pour divifer la fraction par 2, ou, ce qui revient au même, pour la rendre deux fois plus petite, il faut rendre fon numérateur deux fois plus petit, ou fon dénominateur deux fois plus grand (78). 94. Pour divifer une fraction par une autre il faut mettre le produit du numérateur de la fraction qui fert de dividende par le dénominateur de l'autre en fraction fur : = le produit du numérateur de la feconde par le dénominateur de la premiere; cela s'appelle en multiplier les termes en croix. Ainfi ; car s'il falloit divifer par 3, le quotient feroit (93); mais le diviseur devenant le quart de 3, ou ou, le quotient de par doit devenir quatre fois plus grand (30) que le quotient de par 3 or pour rendre quatre fois plus grand il faut multiplier le numérateur par 4 (78), & par conféquent écrire 8. * 95. Enfin files fractions qu'on multiplie ou qu'on divife l'une par l'autre font précédées chacune d'un entier il faut réduire chaque entier & fa fraction en une fraction Jeule (83), opérer enfuite à l'ordinaire (92 ou 94). Ainfi 4×5=11=154=77 (86) & a + × c+ã 2 -b =ac+ bx c d+b= ac2d+cbd+acb + b2. ET DES RACINES DES FRACTIONS. 96. POUR élever une fraction à une puissance quelconque, ou pour en extraire une racine quelconque, il faut élever à cette puissance, ou extraire cette racine de chacun de fes termes. Ainfi le quarré de la fraction eft, fon 2 a 2 &c.; carb = b2 9 & X général on trouve en opérant ainfi la même fraction que fi on formoit les puiffances à l'ordinaire par la multiplication (62). * 97. Les deux termes d'une fraction réduite à l'expreffion la plus fimple, & qui n'ont par conséquent pas de divifeur commun, n'en acquiérent point par leur élévation à de plus hautes puiffances. Soient deux nombres abc, def, dont l'un n'a de divifeurs premiers que les nombres a, b, c, (j'entends par divifeurs premiers, des nombres comme 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, &c. qui ne font divifibles par aucun autre nombre, excepté l'unité qui les divife tous) & l'autre les nombres d, e, f, il eft clair que les deux nombres abc, def n'auront de divifeur outre leurs divifeurs premiers que leurs différens produits, fçavoir l'un les produits ab, ac, bc abc, & l'autre les produits de, df, ef, def, néceffairement différens des autres, puisque les divifeurs miers de ces deux nombres le font auffi: donc abc présente toute fraction numérique réduite à l'expreffion la plus fimple; or les deux termes de fon quarré a2b2 c2 2 def anbncn pre re d3 ̧1ƒ1 › ou en général de sa puissance n e2 f2 d" e " fn n'ont pas non plus de commun divifeur, puifque chacun d'eux n'a de divifeur que les divifeurs de fa racine & leurs divers produits néceffairement différens des divifeurs de l'autre, puifque les diviseurs des deux racines font tous différens. * 98. Une fraction proprement dite ne peut pas devenir un entier par son élévation à de plus hautes puissances; il en eft de même d'un entier joint à une fraction réduite à l'expreffion la plus fimple. Car 1°. une fraction proprement dite valant moins qu'une unité (76), fa puiffance quelconque vaudra moins que 1, puifque la puiffance quelconque de 1 eft 1. 2°. Si l'on réduit en une frac I c ré tion seule (83) un entier a joint à une fraction duite à l'expreffion la plus simple, les deux termes de ac+ b cette nouvelle fraction To n'auront pas de com mun divifeur, puifqu'on ne pourra retrouver par la divifion que a+, & ils n'en acquerront pas par leur élévation à de plus hautes puiffances (97); cependant afin qu'une fraction improprement dite devienne un entier, il faut que fes deux termes ayent un commun divifeur égal au dénominateur. Donc, &c. * 99. Les nombres 2, 3, 5, 7, 8, 10, &c. qui rempliffent les intervalles des nombres quarrés, 1, 4, 9, 16, 25, 36, &c. ne font que des quarrés imparfaits, c'est-àdire des nombres dont on ne peut exprimer la racine quarrée par aucun nombre poffible; car cette racine n'eft pas un entier ; puifqu'il n'y a pas de nombre entier qui multiplié par lui-même donne quelqu'un des nombres dont nous parlons; ce n'eft pas non plus une fraction, ni un entier joint à une fraction (98). * 100. Le produit d'un quarré parfait aa par un quarré imparfait xx n'est qu'un quarré imparfait; car fi aaxx étoit un quarré parfait ; fa racine ax feroit un nombre connu; & l'un a des produifans de cette racine étant auffi connu, puifque a a est un quarré parfait, l'autre produifant x feroit auffi connu; & partant xx ne feroit pas un quarré imparfait, comme on le fuppofe. 2 2 2 * 101. Il ne peut y avoir de quarré parfait double, triple, quintuple, &c. d'un autre quarré parfait; ainsi a étant un quarré parfait 2 a2 3 a2 sa2, &c. ne font que des quarrés imparfaits (100), puifqu'ils font les produits d'un quarré parfait a2 par les quarrés imparfaits 2, 3, 5, &c. (99). cun * 102. La racine d'un quarré imparfait n'a avec aunombre de commune mesure. Je m'explique: tous les nombres entiers ont au moins l'unité pour mesure commune, ou bien l'unité prife un certain nombre de fois mefure exactement toutes fortes de nombres entiers. Il en eft qui ont pour mesure commune des nombres entiers: ainfi 18 & 21 ont pour mefure commune 3 ; mais la racine d'un quarré imparfait eft telle que ni l'unité 1000 ni une partie de l'unité, quelque petite qu'elle foit, ne la mesure exactement, & par conféquent elle n'a avec aucun nombre de mefure commune; car 1o. fi cette mefure commune étoit l'unité, la racine dont il s'agit vaudroit un entier : 2°. fi c'étoit une partie de l'unité, la milliéme par exemple, ou, & que cette mefure prife trente fois, par exemple, égalât la racine en question, elle vaudroit la fraction 3: 3°. fi cette mesure commune étoit l'unité jointe à une fraction, à par exemple, & que cette mefure prife trente fois égalât la racine du quarré imparfait, elle vaudroit 30 130, c'est-à-dire un entier joint à une fraction or les racines des quarrés imparfaits ne peuvent être ni des entiers, ni des fractions, ni des entiers joints à des fractions (99): donc les racines des quarrés imparfaits n'ont avec aucun nombre de commune mefure; c'eft pour cela qu'on les appelle des incommenfurables. On les exprime par le figne radical ✓, en cette forte, V2, V3, V10, &c. I LEÇON CINQUIE'ME. Des raisons & des proportions. NOTIONS PRELIMINAIRES. E 103. Le quotient d'une grandeur a divisée par une autre b eft le rapport ou la raison géométrique de la premiere à la feconde : on l'écrit ainfi, ou a: b:: La différence de ces grandeurs eft leur raison arithmétique, a |