qui s'écrit ainsi, a.b: ; 3 est donc la raison géométri que de 12 à 4, & 8 est leur raison arithmétique. On appelle dans ce cas 12 l'antécédent, & 4 le confequent de la raison.

I

104. L'égalité de deux raisons forme une proportion, qui est géométrique ou arithmétique, selon l'espèce de ces deux raisons. Ainsi la raison géométrique de 12 à 4 étant 3, comme celle de 15 as, les deux raisons & forment une proportion géométrique qui s'écrit ainsi : =, ou plus communément ainsi, 12:4:: 15: 5; on l'énonce ainsi, 12 est à 4 comme 15 est à 5. La raison arithmétique de 5 à 3 étant 2, commé celle de 9 à 7, ces deux raisons forment une proportion arithmétique, qui s'écrit ainfi, 5.3:9.7; on l'énonce ainsi, s est arithmétiquement à 3 comme g est à 7. Lorsqu'on parle d'une raison ou d'une proportion, sans la spécifier, on entend toujours la géométrique.

105. Le premier & le quatriéme terme d'une proportion en font les extrêmes, le second & le troifiéme en font les moyens. Lorsque dans une proportion la même grandeur se trouve conféquent de la premiere raison & antécédent de la suivante, elle s'appelle moyen proportionel, & la proportion se nomme continue; en voici une, 16:8::8:4. On l'écrit plus brièvement ainsi, 16.8.4, lorsqu'elle est géométrique, & en cette forte, ÷ 16.12.8, lorsqu'elle est arith métique.

106. Si le troifiéme terme d'une proportion continue devient lui-même un moyen proportionnel entre le second terme & un quatrième, & si le quatrième est encore moyen proportionnel entre le troifiéme & le cinquiéme, ainsi du reste, cette suite de termes forme une progreffion, dont l'espéce dépend de celle des raifons qui la composent. Celle-ci 16.8.4.2.1.

I

16.12.8.4.0.

&c. est géométrique, & celle-ci -4-8, &c. eft arithmétique. On énonce la premiere ainsi, 16 est à 8 comme 8 est à 4, comme 4 est à 2, comme 2 est à 1, &c. & la seconde ainsi, 16 est arithmétiquement à 12 comme 12 est à 8, comme 8 est à 4, comme 4 eft à o, &c.

107. Il suit du no. précédent, qu'une progression géométrique ou arithmétique est une suite de raisons géométriques ou arithmétiques égales, dans laquelle chaque terme compris entre le premier & le dernier est moyen proportionnel entre celui qui le précéde & celui qui le juit immédiatement, & par consequent une suite de termes, qui pris consécutivement ont le même quotient ou la même différence; ce qui diftingue la progression d'une fin ple suite de raisons égales, comme celle ci, 32:16::8: 4::10:5::6:3:: &c. qu'on énonce ainsi, 32 est à 16, comme 8 eft à 4, comme 10 est às, comme 6 est à 3, dans laquelle chaque terme compris entre le premier & le dernier n'est pas moyen proportionnel entre celui qui le précéde & celui qui le fuit immédiatement, ou bien encore dans laquelle les termes pris confécutivement (c'est-à-dire le premier avec le second, le second avec le troisiéme, le troisiéme avec le quatriéme, &c.) n'ont pas le même quotient, mais seulement pris deux à deux, c'est-à-dire le premier avec le second, le troisième avec le quatrième, le cinquième avec le fixiéme, &c.

108. Si les antécédens sont plus petits que les conféquens, il y aura proportion géométrique lorsqu'ils en se ront des parties semblables; car dans ce cas les deux raifons deviendront la même par leur réduction à l'expression la plus simple. Par exemple, on a la proportion 5:15::4:12; car les antécédens érant le tiers de leurs confequens, les raisons & se réduiront chacune à, & partant = ou 5:15::4:12; cela

12

D

L

جمد

s'appelle une proportion croiffante. Il y a auffi proporsion arithmétique, torsque les antécédens font moindres que leurs conféquens de la même quantité; car dans ce cas chaque conféquent soustrait de son antécédent donne la même différence négative; ainsi on a 7.9:3.5; car 7-9=-2, comme 3-5. Il y a de même des progreffions croiffantes, tant géométriques qu'arithmétiques : en voici une de chaque espéce; 1.2.4.8.16, &c.4.8.12.16.20.&c.

109. Si quatre grandeurs font difpofées de façon que, sans les déranger, elles forment une proportion, on dit que les deux premieres font en raison directe des deux dernieres, ou qu'elles leur font directement proportionnelles; mais si ces grandeurs font disposées de façon que pour former une proportion il faille renverser l'ordre des deux dernieres, on dit que les deux premieres font en raison inverse des deux dernieres, ou qu'elles leur font réciproquement proportionnelles. Ainfi si les masses M, m, & les vitesses V, u, de deux corps A & B donnent cette proportion, la masse de A eft à la masse de B, comme la vitesse de A est à la vitesse de B, ou M: m::: u. Je dis que leurs masses sont en raison directe des vitesses, parce que la masse de A étant l'antécédent de la raison des masses, l'ordre naturel demande que la vitesse de A foit auffi l'antécédent de la raison des vitesses; mais si la masse de A est à la masse de B, comme la vitesse de B est à la vitesse de A, ou M: m :: u: V, je dis que les masses de ces corps font en raison inverse de leur vitesse, ou que ces deux corps font en raison réciproque de masse & de vireffe, parce que j'ai dérangé l'ordre naturel des deux derniers termes qui faifoient la raison des vitesses.

110. Si le quotient de deux grandeurs est double, triple, quadruple, &c. ou fous-double, sous-triple, fous-quadruple, &c. du quotient de deux autres grandeurs, on dit que les deux premieres font en raison double, triple, quadruple, &c. ou fous-double, sous triple, sous-quadruple, &c. des deux dernieres. Ainsi 24 est à 6 en raison double de 8 à 4, & 8 eft à 4 en raifon sous-double de 24 à 6.

* 111. On appelle raison de nombre à nombre celle dont les deux termes sont commensurables, comme la raison de 4 à 2; & raison sourde ou irrationelle celle dont l'un des termes est incommenfurable, comme la raison de 4 à 2, parce que dans ce cas on ne peut exprimer par aucun nombre possible la grandeur incommenfurable (99), ni par conféquent la valeur de la raison; cependant la raison de deux incommenfurables peut être une raison de nombre à nombre, par exemple se réduit à la raison 4, qui est de nombre à nombre , en divisant les deux termes de la premiere fraction par 3 (79).

2√3
5√3

Propriétés des raisons géométriques.

:

112. La valeur d'une raison étant le quotient de son antécédent divisé par le conféquent (103), o peut regarder une raison comme une grandeur déterminée & par conféquent on a les axiomes suivans.

113. 1°. Si deux raisons font chacune égales à une troisième, elles sont égales entr'elles.

114. 2°. Si de plusieurs raisons la premiere est égale à la seconde, la seconde à la troisième, la troisième à la quatrième, &c. la premiere est égale à la derniere, & elles font toutes égales entr'elles..

115. 3. Si deux raisons font égales, elles ont un même

rapport à une troisième.

:

116. La raison de deux touts est la même que celle de leurs moitiés, de leurs tiers, de leurs quarts, en un mot de leurs parties semblables; car la moitié, le tiers, le quart, en un mot une partie quelconque d'un tout contient autant de fois une partie semblable d'un autre tout que le premier tout contient le second.

117. La raison de deux parties semblables de deux touts est la même que celle de deux autres parties semblables des mêmes touts; car la raifon des moitiés, par exemple, de deux touts, est la même que celle de ces touts; pareillement la raison de ces touts est la même que celle de leurs tiers (116): donc (113) la raison des moitiés est la même que celle des tiers. On trouve par le même raisonnement qu'en général la raison, &c.

118. Les conféquents de deux raisons étant égaux, leurs valeurs Q, q, font en raison directe des antécédens A, a, c'est à dire Q : 9 :: A : a, & les antécédens étant égaux, leurs valeurs sont en raison inverse des confequens C,c, c'est-à-dire Q:9::c: C (78); puisqu'une raison est une fraction proprement ou improprement dite,. dont le numérateur est l'antécédent, & le dénominateur le conféquent.

4 C

119. Pour la même raison on ne change pas la valeur d'une raison, soit qu'on en multiplie, ou qu'on en di. vise les deux termes par la même quantité. Ainfi= ou a : b : : ac: bc; de même a:b:::::; ce qu'on peut

encore exprimer ainsi.

a

6

bc,

Deux grandeurs a & b font entr'elles comme les produits ac, bc, ou les quotiens de ces grandeurs multipliées ou divisées par la même quantité c.

bn

120. Toute raison géométrique peut se réduire à la formule ou bn:b:: car le conféquent de toute raison géométrique peut être exprimé par b, tout