bn bn quotient de l'antécédent divisé par le conféquent peut être exprimé par n, & par conféquent tout antécédent par bn, puisque le produit du quotient par le diviseur est égal au dividende (36): donc l'expression entiere de la raison sera. Pour voir plus clairement comment peut exprimer toute raison géométrique, il faut remarquer que si l'antécédent contient un certain nombre de fois juste son consequent (1st ex.) n vaut un nombre entier ; si l'antécédent est moindre que le conféquent (2o ex.), n vaut une fraction; si l'antécédent contient un certain nombre de fois fon conféquent avec un reste (3o ex.), n vaut un entier joint à une fraction; enfin si l'antécédent est égal au conféquent (4o ex.), n vaut l'unité ; & dans tous ces cas fi l'on multiplie le nombre désigné par b par le nombre qu'exprimen, on retrouve l'antécédent qui par conféquent peut être exprimé dans tous les cas par bn. Ir exemp. 2o exemp. 3 exemp. e 4 еxетр. e Il est évident par les mêmes raisons qu'au lieu de la formule, je pourrois prendre, ou même toute autre pareille. ou 122. Le produit de plusieurs raisons s'appelle raison composée de ces raisons; ainsi bnem eft la raison com b c posée des raisons", om ; & la valeur d'une raison composée est le produit des valeurs des raisons simples qui la composent; car la raison vaut nm, produit des bncm bc valeurs nm des raisons composantes. La raifon des masses de deux corps étant, la raison des vitesses étant la raison composée des masses & des vitesses eft MV m, u Mu ; la raifon eft composée de la raison directe mV 24 des maffes, & de l'inverse des vitesses. 123. Le quarré d'une raison s'appelle raifon doublée de la raison simple qui est sa racine; le cube d'une rai fon en est la raison triplée; ainsi la raifon eft dou 62 valeur de la raison doublée ou triplée est le quarré ou le 622 cube de la valeur de fa racine; car vaut n2, quarré de la valeur n de leur n bn b vaut n3, cube de la va debn que d'une raison est appellée fous-doublée ou fous-triplée de cette raison; ainfi 62 bn la raison est sous-doublée de 8323 & fous-triplée de 65; & la valeur n delaraifon fous doublée on sous-triplée est la racine quarrée ou cubique de la valeur n2 ou n' du quarré ou du cube 124. Il fuit de la définition des raisons composées, doublées, triplées, sous-doublées, sous-triplées est la même que celle du produit des antécédens au produis des conféquens des raisons composanies. aa a3 2°. Que la raison a o doublée ou triplée d'une autre est la même que celle qui se trouve entre les quarrés ou les cubes des termes de cette autre raison. bn 3°. Que la raison Jous-doublée ou sous-triplée d'une autre 622 633 6 ou est la même que celle qui se trouve entre Les racines quarrées ou cubiques des termes de cette autre raison. :: 4. Que la raison composée de deux ou trois raisons égales est doublée ou triplée de l'une d'elles, on, ce qui revient au même, que cette raison est égale à celle des quar. rés ou des cubes des termes d'une des raisons composantess car soient les deux raifons égales, la raifon com pofée eft *** dont la valeur est un; comme celle de Proprietés des proportions géométriques. 125. TOUTE proportion géométrique peut se ré : ou bn:b::cn: c. Car les deux raisons que contient la formule font égales, puisqu'elles ont le même quotient n; & d'ailleurs elles représentent chacune toute forte de raisons (121) donc la formule représente l'égalité de deux raisons géométriques quelconques, ou ce qui est la même chose (104), toute proportion géométrique. Il est évident pour les mêmes raisons, que toute proportion géométrique pourroit se réduire également à celle-ci, dn: d::en:e, ou même à cette autre am:a:: bm: b, ou à toute autre pareille. 126. Dans toute proportion géométrique le produit des extrêmes est égal au produit des moyens; car dans la formule bn:b::on:c, l'un & l'autre produit est bon; ainsi si l'on a la proportion a:b:: c:d, on a aussi l'équation ad=bc. → Ceci paroîtra plus évident dans un exemple. Soit la proportion 12:4::15:5, dans laquelle chaque raifon vaut 3, les antécédens 12 & 1s seront donc l'un 3x4 & l'autre 3x5 (36); & partant la proportion 12: 4:: 15:5 se réduit à celle ci; 3×4:4::3×5:5parfaitement représentée par la somme bn:b::cn:c; or dans la derniere proportion numérique le produit des extrêmes est évidemment 3×4×5, comme celui des moyens. On pourra de même démontrer que les produits des extrêmes & des moyens dans toute proportion géométrique sont composés des mêmes nombres, comme ces produits dans la formule le sont des mêmes lettres, & qu'ils font par conféquent égaux. 127. Dans toute proportion continue a.b.c. le produit des extrêmes est égal au quarré du moyen proportionnel, ou bien a c = b2; car la proportion continuea.b.c. n'est autre chose que la proportion a:b::b:c(105), qui donne (126) ac=b2. 128. Toutes les fois que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, les quatre grandeurs font nécessairement proportionnelles. Quatre grandeurs quelconques peuvent être exprimées par celles-ci,bn,b,cm, с (121); or fi on a ben=bom, en divisant l'un & l'autre membre de l'équation par bo, on auran=m, & par conféquent, ou bn:b::cm:c. 129. Toute équation peut être changée en proportion; car on peut regarder chaque membre de l'équation comme le produit de deux grandeurs, & partant former une proportion, dont les extrêmes soient les deux produisans d'un membre, & les moyens les deux produisans de l'autre, puisque toutes les fois que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, les quare grandeurs font proportionnelles (128). Ainfi l'équation ad=bc peut être changée en cette proportion, a:b::c:d; celle-ci, a c = b2, peut devenir a : b::b:c, & celle-ci, bc=d, peut devenir b:d:: 1:0 130. On peut, sans détruire une proportion, 1°. changer l'arrangement de ses termes autant de fois qu'il est possible, en confervant les mêmes moyens & les mêmes extrêmes, ou en faisant des deux moyens les deux extrêmes, & des deux extrêmes les deux moyens; car dans tous ces cas le produit des extrêmes demeure égal au produit des moyens, & par conféquent (128) la proportion subsiste toujours. Cet arrangement différent de termes donne les huit proportions suivantes, bn:b::cn:c, bn:cn::b:c,c:cn::b:bn,c:b::cn:bn,cn; c::bn:b,cn:bn::c:b, b: bn::c:cn, b:c:: bn:cn. 131. 2°. Lui faire subir les changemens suivans, communément appellés addendo, subtrahendo, multiplicando, dividendo. |