b n b n quotient de l'antécédent divifé par le conféquent peut être exprimé par n, & par conféquent tout antécédent par bn, puifque le produit du quotient par le divi feur eft égal au dividende (36): donc l'expreffion entiere de la raison fera. Pour voir plus clairement comment peut exprimer toute raison géométrique, il faut remarquer que fi l'antécédent contient un certain nombre de fois jufte fon conféquent ( 1er ex.) ∞ vaut un nombre entier ; fi l'antécédent eft moindre que le conféquent (2° ex.), n vaut une fraction; fi l'antécédent contient un certain nombre de fois fon conféquent avec un refte (3 ex.), n vaut un entier joint à une fraction; enfin fi l'antécédent est égal au conféquent (4 ex.), n vaut l'unité ; & dans tous ces cas fi l'on multiplie le nombre défigné par b par le nombre qu'exprimen, on retrouve l'antécédent qui par conféquent peut être exprimé dans tous les cas par e e bn. 3° exemp. 4° exemp Il est évident par les mêmes raifons qu'au lieu de la formule, je pourrois prendre, ou même toute autre pareille. dm द ou 122. Le produit de plufieurs raifons s'appelle raifon compofée de ces raifons; ainfi eft la raifon com n cm b ncm bc pofée des raisons **, ; & la valeur d'une raison com posée est le produit des valeurs des raisons fimples qui la compofent; car la raison b ncm b c vaut nm, produit des b n cm valeurs n m des raisons compofantes. La raifon des maffes de deux corps étant, la raifon des viteffes étant, la raifon compofée des maffes & des vitesses MV Mu eft ; la raifon eft compofée de la raifon directe m des maffes, & de l'inverfe des viteffes. 123. Le quarré d'une raifon s'appelle raifon doublée de la raifon fimple qui eft fa racine; le cube d'une rai fon en eft la raifon triplée; ainfi la raifon bin2 2 blée, & la raison" triplée de la raison 63 62 eft dou valeur de la raifon doublée ou triplée est le quarré ou le 6222 cube de la valeur de fa racine; car vaut n2, quarré bn leur n de”. Au contraire la racine quarrée ou cubi que d'une raifon eft appellée fous-doublée au fous-triplée de cette raison ; ainfi la raifon eft fous-doublée de 62 b n 65 ; & la valeur n de la rai fon fous doublée on fous-triplée eft la racine quarrée ou cubique de la valeur n2 ou n3 du quarré ou du cube 124. Il fuit de la définition des raifons compofées, doublées, triplées, fous doublées, fous-triplées à 1°. que la raison la raison compofee de plufieurs autres, def eft la même que celle du produit des antécédens au produit des confequens des raisons compofantes. 2°. Que la raifon a a a3 Ou doublée ou triplée d'une bb 63 autre eft la même que celle qui fe trouve entre les quarrés T ou les cubes des termes de cette autre raifon. 3°. Que la raison autre 6222 63223 ou eft la même que celle qui se trouve entre 62 63 Les racines quarrées ou cubiques des termes de cette autre raifon. 4°. Que la raifon compofée de deux ou trois raifons egales eft doublée ou triplée de l'une d'elles, ou, ce qui revient du même, que cette raifon eft égale à celle des quar rés ou des cubes des termes d'une des raifons compofantes car foient les deux raifons égales,, la raifon com bn "bn poféè eft **** dont la valeur est un ; comme celle de b2 n2 62 bc égales b'c dont la valeur eft n3, coma d eft b c d me celle de b3n3 c3 n3 ou de C3 d3 Proprietés des proportions géométriques. 125. TOUTE proportion géométrique peut le ré duire à la formule = ou bn : b :: cn : c. Car les deux raifons que contient la formule font éga les, puifqu'elles ont le même quotient n; & d'ailleurs elles repréfentent chacune toute forte de raifons (121); donc la formule représente l'égalité de deux raifons géométriques quelconques, ou ce qui eft la même chofe (104), toute proportion géométrique. Il est évident pour les mêmes raifons, que toute proportion géométrique pourroit fe réduire également à celle-ci, dn: d::en:e, ou même à cette autre am:a:: bm: b, ou à toute autre pareille. 126. Dans toute proportion géométrique le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens ; car dans la for mule bn: bcnc, l'un & l'autre produit eft ben; ainfi fi l'on a la proportion a:b::c:d, on a auffi l'équation ad=bc. Ceci paroîtra plus évident dans un exemple. Soit la proportion 12: 4: 15:5, dans laquelle chaque rai fon vaut 3, les antécédens 12 & 15 feront donc l'un 3×4 & l'autre 3×5 (36); & partant la proportion 12: 4:: 15:5 fe réduit à celle ci; 3×4:4: 3×5: 5 parfaitement repréfentée par la fomme bn b:: cn: c; or dans la derniere proportion numérique le produit des extrêmes eft évidemment 3 × 4×5, comme celui des moyens. On pourra de même démontrer que les produits des extrêmes & des moyens dans toute proportion géométrique font compofés des mêmes nombres, comme ces produits dans la formule le font des mêmes lettres, & qu'ils font par conféquent égaux. 127. Dans toute proportion continue a. b. c. le produit des extrêmes eft égal au quarré du moyen proportionnel, ou bien a c = b2; car la proportion continuea.b.c. n'est autre chose que la proportion a:b:: b: c (105), qui donne (126) ac = b2. 128. Toutes les fois que le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens, les quatre grandeurs font nécessairement proportionnelles. Quatre grandeurs quelconques peuvent être exprimées par celles-ci, bn, b, em, a (121); or fi on a ben bcm, en divifant l'un & l'au tre membre de l'équation par bc, on auran—m, & = par conféquent, ou bn:b:: cm: c. 130. On peut, fans détruire une proportion, 1°. changer l'arrangement de fes termes autant de fois qu'il eft poffible, en confervant les mêmes moyens & les mêmes extrêmes , ou en faifant des deux moyens les deux extrêmes, & des deux extrêmes les deux moyens; car dans tous ces cas le produit des extrêmes demeure égal au produit des moyens, & par conféquent (128) la proportion fubfifte toujours. Cet arrangement différent de termes donne les huit proportions fuivantes, bn:b:: cnc, bn: cn::b:c, c: cn::b: bn, cb::cn: bn, cn; c::bn: b, cnbn:: cb, b: bn::c:cn, b:c:: bn: cn. 131. 2°. Lui faire fubir les changemens fuivans; communément appellés addendo, fubtrahendo, multiplicando, dividendo. Addendo bn+bb:: cn+c:c. bn-b: b:: on-c:c. Multiplicando. . bnx : b:: cnx Dividendo. b n :C. b Car on trouve toujours le produit des extrêmes égal |