au produit des moyens. Chacune de ces proportions pourroit encore fubir tous les changemens dont nous avons parlé dans le n°. précédent. :: 132. 3°. En multiplier ou en divifer les quatre termes par les termes correspondans d'une autre proportion; car fi on multiplie les termes de la proportion bn:b: cnc, par les termes correfpondans de celle-ci dm: d::eme, on aura la nouvelle proportion b dmn: bd: : cemnice; & fi on divife les termes de la premiere par les termes de la feconde, on aura auffi in em c b n dm b ::: puifque les deux raifons qui compofent chacune de ces proportions ont le même quotient, & que d'ailleurs le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. 133. 4°. En élever les quatre termes à une même puiffance quelconque, bu en extraire la même racine; car fi on éléve les quatre termes de la formule bn:b::cn: c, à la puiffance p on aura bp nt : bp :: ct ntcr, puifque ces deux nouvelles raifons ont un même quotient nr. Maintenant fi l'on extrait la racine p des quatre termes de cette feconde proportion, on retrouve la premiere. * 134.5°. Renverser l'ordre des deux prémiers ou des deux derniers termes, pourvû qu'on en fasse les dénominateurs de deux fractions qui ayent l'unité ou une même quantité quelconque m pour numérateur.. Ainfi la proportion bn: b:: cn: c, peut être 'changée en celle-ci, bn bou en cette autre::cntc, puifque les deux raifons de chacune de ces proportions ont un même quotient n. : * 133. 6°. Si deux de ses termes font des fractions, en effacer les numérateurs, & renverfer l'ordre des dénominateurs; car la proportion bn:b;: cn:c, peut être changée en celle-ci, bn:b::;(134): donc cette derniere à fon tour peut reprendre la forme de la miere, bn:b:: cn:c. pre 136. Dans une fuite de raifons égales la fomme des an técédens eft à la fomme des confequens comme un antécédent quelconque eft à fon confequent; car fi chaque antécédent eft double, triple, &c. ou la moitié, le tiers, &c. de chaque conféquent, il eft néceffaire que la fomme des antécédens foit double, triple, &c. ou la moitié, fe tiers, &c. de la fomme des conféquens. 137. Dans toute proportion géométrique chaque extrême eft égal au produit des moyens divife par l'autre extrême &chaque moyen au produit des extrêmes divife par l'autre moyen; car cela fe trouve dans la formule bn : b :: en: c., & par conféquent étant connus trois termes quel conques dans une proportion, on connoît le quatriemé. Cette méthode de trouver un terme inconnu d'une proportion s'appelle la Régle de Trois, ou la Régle d'Or, à caufe de fa grande utilité dans les mathématiques, En voici l'application à quelques problêmes. PROBLEME I. 138. Vingt hommes ont fait 45 toifes d'ouvrage; com bien de toifes feront foixante hommes dans le même tems ? Je compare d'abord entr'eux les termes homogenes, (ce qu'il faut bien obferver dans les autres exemples ) c'eft-à-dire les toises aux toifes, les hommes aux hommes ; & comme il est évident que le nombre de toifes doit augmenter dans la même proportion que le nombre des ouvriers, j'ai la proportion, vingt hommes font à foixante hommes, comme 45 toifes, ouvrage de vingt hommes, font à x nombre inconnu de toifes faites par foixante hommes, ou zo 6o5:: 45: xt: donc 60×45 (137) x = 20 135 toifes. 139. Dans l'exemple précédent les deux premiers termes de la proportion font en raifon directe des deux autres: la Régle de Trois eft alors directe; mais fi les deux premiers étoient en raifon inverfe des deux derniers, la Régle de Trois feroit inverfe: en voici un exemple. PROBLEME II. Vingt hommes ont fait un certain ouvrage dans quinze jours; en combien de jours foixante hommes feront-ils le même ouvrage ? Je remarque que le nombre des jours qu'on cherche eft d'autant plus petit que 15, que 60 est plus grand que 20, parce que la durée de l'ouvrage diminue dans la même proportion qu'augmente le nombre des ouvriers; & par conféquent 20: 60h::xi: 15: donc (137) x= 20X15 60 =s jours. PROBLEME III. 140. Quinze marcs trois onces d'argent valent 742 liv. 15 fols; combien vaut chaque marc ? Il eft clair que le prix devant décroître en même proportion que le nombre des marcs, j'ai la proportion fuivante : quinze marcs trois onces d'argent font à un marc comme 742 liv. 15 fols, prix de quinze marcs trois onces, eft à x, prix inconnu d'un marc, ou bien en changeant les marcs en onces & les livres en fols, ( le marc contient 8 onces) 123°: 8on: 14855fols:x== 14855 × 8 =9665., 2d. 18 d. =481. 65. 2d. 18 123 123 PROBLEME IV. 123 141. Chaque marc coutant 48v. fols 2 den.. (j'ôte la fraction pour abreger le calcul), com 18 123 bien coutent quinze marcs trois onces ? Il ne faut que ren verfer la proportion du n°. précédent, & réduire le prix du marc en deniers, & les marcs en onces, ce qui donne la proportion 8°": 1230n:: 11594den. : , 142. Trois Marchands ont fait un fonds de 1250 livres; Pierre y a mis 400 liv. Jean 250liv., André 600liv., le fonds a le fonds a donné 2000liv. de gain; quel eft le gain de chaque Marchand? J'obferve que chaque marchand doit retirer du gain total à proportion de fa mife, c'est-à-dire que le fonds eft à chaque mife comme le gain total eft au gain de chaque marchand. Ces trois gains feront donc les quatriéme termes des trois proportions fuivantes. Proprietés des progreffions géométriques. 143. TOUTE progreffion géométrique peut fe réduire à la formule b. bn2. bn2. `bn3. bn4. bns. bns. &c. car toute progreffion géométrique eft. une fuite de termes qui pris confécutivement ont le même quotient (107); or c'est ce qui fe trouve dans la formule, puifque chaque terme divifé par le précé dent donne au quotient n, & par le fuivant: cette formule forme donc une progreffion géométrique ; & d'ailleurs les raifons qui la compofent pouvant exprimer toute raison géométrique, la formule entiere peut exprimer toute progreffion géométrique. * 144. Si n est un nombre entier, la progreffion eft eroiffante; elle est au contraire décroissante, fi n eft une fraction, par exemple, fi l'on fait dans la formule b=2, n=3, elle deviendra 2.6. 18. 54. 162.486 &c.; mais fan&b=16, la formule deviendra 16.8.4.2.1.1.1. &c. * 145. Toutes les puiffances fucceffives d'une même quantité font en progreffion géométrique; car fi on fuppofe que dans la formule b1, elle devient 1.21. n2. n3.n4. a§.no, &c.; or n peut exprimer une quantité quelconque. Donc, &c. * 146. Des termes compofés des mêmes lettres, dont les expofans forment une progreffion on proportion arithmétique, font en progreffion ou en proportion géométrique. Ainfi 1. n.n2. no no, no n12. &c., puifque ces termes pris confécutivement ont le même quotient : 2°. n2:n :: n^: n7, puifque le produit des extrêmes eft égal au produit des moyens. * 147. Dans toute progreffion géométrique le premier terme eft au troisieme en raison doublée, & au quatrième en raifon triplée du premier au fecond. On trouve en effet dans la formule précédente b: bn 2 :: b2 : b2 n2, & b: bn3:: b3: b3 n3, à caufe du produit des extrêmes 2 égal au produit des moyens; or la raifon b3 blée, & la raifon triplée de la raifon b3n3 b2 eft dou b2n2 mier terme b au second bn (124). Donc, &c. *148. Dans toute progreffion géométrique le produit |