des extrêmes eft égal au produit des termes également éloignés des extrêmes, du fecond par exemple & du pénultiéme , ou au quarré du moyen proportionnel, fi le nombre. des termes eft impair: cela eft évident à la feule infpection de la formule.

* 149. Dans toute progreffion géométrique chaque terme, le cinquième par exemple, bn4, eft égal au produit du premier b par le quotient de la progression n'élevé àu la puiffance quatrième, qui eft désignée par le nombre des termes précédens. Voyez la formule.

Proprietés des proportions arithmétiques.

150. T OUTE raifon arithmétique peut fe réduire à la formule b.b+d, fi l'antécédent eft moindre que le conféquent; à celle-ci b.bd fi l'antécédent eft plus grand que le conféquent, & dans tous les cas à cette formule générale b. b+d:

Car la différence des termes quelconques d'une raifon arithmétique peut être exprimée par d, le plus petit terme par b, ou par b-d', & b-d, & par conféquent le plus grand terme par b+d, ou par b (20): donc l'expreffion entiere d'une raifon quelconque eft b. b+d.

Il est évident pour les mêmes raifons qu'au lieu de la formule précédente, je pourrois prendre celle-ci, c.c+d, ou cette autre, e. ef, ou toute autre pareille.

* 151. Toute proportion arithmétique peut être exprimée par la formule b. b+d: c. c + d. · Car les deux raifons arithmériques que contient la formule font égales, puifqu'elles ont la même valeur d; & d'ailleurs elles repréfentent chacune toute forte de raifons (150): donc la formule précédente repré

fente l'égalité de deux raifons arithmétiques quelconques, ou ce qui revient au même (104), toute proportion arithmétique.

*

152. Dans toute proportion arithmétique la fomme des extrêmes eft égale à la fomme des moyens ; car dans la formule l'une & l'autre fomme eft b+c+d. Ainfi fi l'on a la proportion arithmétique a. b:c.d, on a auffi a+d=b+c.

Ceci paroîtra plus évident dans un exemple. Soit la proportion 9.5:8.4, dans laquelle chaque raifon vaut 4; la proportion étant décroiffante, les conféquens 5 & 4 feront donc l'un 9-4 & l'autre 8-4, & par conféquent la proportion 9.5: 8.4 fe réduira à celle-ci, 9.9-4:8. 8-4, parfaitement représentée par la formule b. b-d:c.c-d; or dans la derniere proportion numérique la fomme des extrêmes eft évidemment 9+ 84 comme celle des moyens, de même que dans la formule b. b-d: c. c-d, l'une & l'autre fomme eft b+c-d. On démontrera de même que la fomme des extrêmes & des moyens de toute autre proportion décroiffante eft la fomme des mêmes nombres, & l'on appliquera aifément la même démonstration à toute proportion croiffante, comme feroit 5.94.8. Donc, &c.

* 153. Dans toute proportion continue arithmétique → a.b.c.la fomme des extrêmes eft égale au double du moyen proportionnel, ou bien a+c=2b; car la proportion continuea.b.c. n'eft autre chofe que la proportion a.b: b,c, qui donne (152) a+c=2b.

*

154. Toutes les fois que la fomme des extrêmes eft égale à la fomme des moyens, les quatre grandeurs font arithmétiquement proportionnelles. Quatre grandeurs quelcon-ques peuvent être exprimées par celles-ci, b, b+d, c, ce (150); or fi on a b+c+e=c+b+d, en fouftrayant de l'un & l'autre membre de l'équation la

quantité

que

quantité be, on aura +d+e, c'est-à-dire les deux raifons b. b+d, &c.ce, auront la même valeur arithmétique, & partant b.d:c.c+e. * 155. On peut donc, fans détruire une propor tion arithmétique, faire tous les changemens dont nous avons parlé dans le n°. 130. au fujet des proportions géométriques, mais non ceux dont il s'agit dans les n° fuivans.

* 156. Dans toute proportion arithmétique chaque ex trême est égal à la fomme des moyens moins l'autre extrême & chaque moyen à la fomme des extrêmes moins l'autre moyen; car cela fe trouve dans la formule b. bd ! c.c+d, ou b. b-d:c.cd, & partant étant connus trois termes quelconques dans une proportion arith métique, on connoît lè quatrième.

* 157. Toute progression arithmétique peut se réduire à la formule b. b + d. b + zd. 6+ 3 d. b + 4d b+sd. b + 6d, &c. lorfqu'elle eft croiffante, à cellet ci÷b.b-d. b-2db-3d. b-4d. b-5d. b-6d. &c. lorfqu'elle eft décroiffante, & dans tous les cas à la formule générale b. bd.b±2d. b3d.b4d.b+sd.b+6 d. &c. Car toute progreffion arithmétique eft une fuite de termes qui pris confécutivement ont la même différence (107); or c'est ce qui fe trouve dans la formule, puifque chaque terme fouftrait du fuivant dans la proportion croiffante, & du précédent dans la décroiffante donne la différenced. Cette formule forme donc une progreffion arithmétique; & d'ailleurs les raifons qui la compofent pouvant exprimer toute raifon arithméti

que (150), la formule entiere peut exprimer toute progreffion arithmétique.

• + 158. Dans toute progression arithmétique la fomme des extrêmes eft égale à la fomme des termes qui en font également éloignés, ou au double du moyen proportionnet Ble nombre des termes eft impair. Cela paroît évidemment dans la formule.

me,

* 159. Dans toute progression arithmétique chaque terle cinquième par exemple b+4d, eft égal an premier b plus au produit de la différence d régnante dans la progreffion par le nombre 4 des termes précédens. Voyez la formule.

2

* 160. Enfin dans toute progreffion arithmétique la Comme des termes eft égale au produit du nombre des termes par la moitié de la fomme des extremes; ou, ce qui revient au même, (158) par le moyen proportionnel, fi le nombre des termes eft impair.

Dans la formule précédente la fomme des extrêmes eft 2b6a la moitié de cette fomme ou le moyen proportionnel eft b+3d, le nombre des termes de la progreffion eft or bad étant multiplié par 7 donne 7b+21d, à quoi te réduit auffi la formule, l'on ajoute ensemble les b & les d qu'elle contient.

LEÇON SIXIE ME. DES ÉQUATIONS.

NOTIONS PRELIMINAIRES.

161. PLUSIEURS quantités jointes par le figne-forment une équation. Les quantités qui précédent le figne en font le premier membre, celles qui le fuivent font le fecond membre.

162. L'art de réfoudre des problêmes par le moyen des équations, s'appelle analife. Il confifte à connoître la valeur des grandeurs inconnues par le moyen de leurs rapports connus avec des grandeurs connues. Un exemple éclaircira tout ceci. On demande quel eft le nombre dont le produit par 12 foit 180. Pour trouver ce nombre inconnu, que j'appelle en attendant x, j'obferve que par l'énoncé du problême le nombre x multiplié par 12 vaut 180: j'exprime le rapport connu de x avec les grandeurs connues 12 & 180 par cette équation 12x180; je vois enfuite que quel que foit ce nombre x, fi je divife les deux membres de cette équation par 12, ils demeureront encore égaux (6). Cette divifion donne la feconde équation ou x 5, & le problême eft résolu.

180

1 2

de

163. Les problêmes font ordinairement plus compliqués. La plupart contiennent plufieurs inconnues; ceux là ne peuvent fe réfoudre que par le moyen plufieurs équations; & le probleme eft enfin résolu lorf qu'on eft parvenu à laiffer fucceffivement toutes les incon