PREMIERE PARTIE. DU CALCUL.

Nous divisons en fix leçons ce que nous avons à dire dans cette partie. La premiere traite des quatre premiéres Régles d'Arithmétique; la seconde des quatre premiéres Régles d'Algébre; la troisiéme contient la formation des puissances & l'extraction des racines; la quatrième contient les opérations de l'Arithmétique sur les fractions; la cinquiéme traite des proportions, & la sixiéme des équations.

LEÇON PREMIERE. DE L'ARITHMÉTIQUE.

Propriétés générales des Nombres.

9. L'Arithmétique enseigne à faire sur les nombres différentes opérations, & en démontre la méthode. On exprime les nombres par des chiffres qui font au nombre de dix. Les voici :

,

2,

3,

4,

5, 6, 7, 8, 9. zero un deux trois quatre cinq fix sept huit neuf. 10. Lorsqu'on joint ensemble plusieurs chiffres, leur valeur augmente en raison décuple en allant de droite à gauche, c'est-à-dire dans une suite de chiffres l'unité de chacun vaut dix fois plus que l'unité du chiffre suivant; ainsi le dernier de plusieurs chiffres exprimant toujours des unités, le pénultiéme exprime des dixaines, un troifiéme chiffre à gauche exprime des centaines, un quatrième des mille, un cinquiéme des dixaines de mille, un sixiéme des centaines de mille un septiéme des millions, &c. c'est ainsi que l'ont établi les premiers Arithméticiens. Les chiffres suivans 245 marquent donc deux cens quarante-cinq unités, ceux-ci 6385 marquent fix mille trois cens quatrevingt-cinq unités, & les suivans 736741936 marquent sept cens trente-fix millions sept cens quaranteun mille neuf cens trente-fix unités.

11. Le chiffre o, qui n'a en lui-même aucune valeur, fert à augmenter la valeur des chiffres qui font à sa gauche, & à exprimer des nombres qu'on ne sçauroit exprimer par la seule combinaison des neuf autres chiffres; ainsi dans le nombre quatre cens cinq, n'y ayant point de dixaines, il faut en faire occuper le rang par un zero, afin de mettre le 4 au rang des centaines, en cette forte, 405. De même pour exprimer deux mille cinquante unités, il faut écrire ainsi, 2050, afin que 2 foit au rang des mille, & s dans celui des dixaines.

12. Il suit de là, que pour rendre un nombre quelconque dix fois, cent fois, mille fois, &c. plus grand, il fuffit d'écrire à la suite de ce nombre un, deux, trois, &c. zero; car si à la suite d'un nombre quelconque, comme de 24, on écrit un zero, en cette forte, 240, 4 qui ne marquoit que quatre unités, marque quatre dixaines, & 2 qui marquoit deux dixaines, exprime deux centaines. Si on écrivoit 2400, 4 qui exprimoit quatre

,

unités, exprimeroit alors quatre centaines, && 2 qui ne valoit que deux dixaines, vaudroit deux mille (10): donc, &c. On pourroit aifément continuer ce raison-. nement pour un plus grand nombre de chiffres & de

zero.

13. On appelle nombre simple, tout nombre exprimé par un seul chiffre, & nombre composé celui qui est exprimé par plusieurs chiffres. On appelle les opérations simples, ou composées, felon qu'elles font faites sur des nombres simples, ou composés. Les premieres n'ont pas besoin de régle.

DE L'ADDITIΟ Ν.

14. L'Addition sert à trouver la somme de plusieurs nombres. En voici les Régles.

Pour ajouter les nombres A & B (ex.1.) 1 exemple.

6;

ces

213..A 425.. B

je dis, 3 & 5 font 8, 1 & 2 font 3, 2 & 4 font j'écris trois sommes à mesure que j'opére, chacune sous sa colomne, j'ai la somme S des nombres A & B, puisqu'elle est composée de la fomme des unités, de la somme des dizaines, & de la fomme des centaines de ces deux nombres.

638..S

2o exemple.

2813

A 825.. Β 1432..C

Pour ajouter les nombres A, B (ex. 2) & C, je dis, 3 & 5 font 8, & 2 font 10; j'écris o sous 2, & j'augmente le premier chiffre de la colomne des dixaines d'une unité, qui dans ce rang vaut les dix unités que je viens de trouver (10); je dis donc, 2 & 2 font 4, & 3 font 7, que j'écris sous 3; ensuite je dis 8 & 8 font 16, & 4 font 20; j'écris o sous 4, & j'augmente le premier chiffre 2 du rang des mille de deux unités

5070..S

:

3o exemp.

386..A 145.. B 967..C

qui dans ce rang valent les vingt centaines que je viens de trouver (10); je dis donc, 4 & 1 fonts, que j'écris sous 1, & la somme des nombres proposés est S. Enfin pour ajouter les nombres A, B &C (ex. 3), je dis, 6 & 5 font 11, & 7 font 18; ce que j'écris ainsi 6+ 5+7=18; j'écris les huit unités & je retiens la dixaine, pour la transporter au rang des dixaines, ce qui s'exprime ordinairement ainsi, j'écris 8 & je retiens I ; je dis ensuite, 9+4+6=19, j'écris & je retiens ; enfin je dis, 4+1+9=14 que j'écris en plaçant le 4 sous le 9, & j'ai la somme S des nombres proposés A, B & C, comme il est évident. Voyez encore l'exemple 45.

1498..S

15. On peut tirer des opérations précédentes cette régle générale: pour

e

4 exemp.

ajouter plusieurs nombres, disposez-les de

6679.. A

façon que leurs unités, leurs dixaines, leurs centaines se répondent, & tirez un trait au dessous; prenez d'abord la somme

4232.. B

9089.. C

20000

des unités, ensuite celle des dixaines, puis

celle des centaines, &c. fi quelqu'une de ces sommes est moindre que 10, écrivez-la dans son rang; si elle est égale précisément à une ou à plusieurs dixaines, écrivez au dessous o, & augmentez le premier chiffre de la colomne qui est à gauche d'autant d'unités que vous avez trouvé de dixaines. Enfin si elle contient quelques unités au dessus des dixaines, écrivez ces unités dans leur rang, transportez les dixaines, comme on vient de le dire.

16. Faut-il ajouter des fom

S exemple.

mes composées de liv. de sols & de deniers, comme dans l'exemples? je dis d'abord pour les deniers, 8++11+10=29. =2s j'écris doncs sous les

602tiv: 15rols 8den.

d.

923.. 16.. II
43..18..10

1570..11.. 5

deniers, & j'ajoute 2 au 5 qui se présente d'abord au rang des fols, en disant, 7+6+8= 21; j'écris 1 & je retiens 2, ou deux dizaines de fols, que j'ajoute au rang des dixaines; je dis donc, 3+1+1== S=SoTols = 2 liv. j'écris i au rang des dixaines de fols, & je retiens 2, que j'ajoute aux livres, dont je fais l'addition à l'ordinaire (15).

10 fols

;

On fera aisément, en suivant cette méthode, l'addition de toutes fortes de quantités disparates (on l'ap pelle addition complexe), pourvû qu'on sçache leur valeur respective; ainsi quand on sçaura que la toife contient fix

6o exemple.

7o exemple.

tois.

P.

pou,

heu.

7

4

9

6

5

12

4

8

15

3

celle de l'exemple 7, si l'on sçait que l'heure contient 60 minutes, la minute 60 secondes. En un mot, la régle générale de l'addition complexe est de prendre d'abord la Somme des plus petites quantités, de la joindre aux plus grandes fi elle peut les égaler, & d'écrire dans son rang le furplus, s'il y en a, ou la somme toute entiere, si elle n'est pas affez grande pour être changée en une plus grande espece.

DE LA SOUSTRACTION.

17.ON retranche par la Soustraction un nombre d'un autre, pour connoître la difference de ces deux nombres, on l'excès de l'un sur l'autre. En voici les régles.