Des lignes perpendiculaires & obliques.

DEFINITIONS.

196.ON appelle angle l'écart de deux lignes qui se rencontrent. Il eft rectiligne, curviligne ou mixtiligne, felon qu'il eft formé par deux droites ou par deux cour bes, ou par une droite & une courbe. Nous ne parlerons que de l'angle rectiligne. Les droites CA B A Fig. n en forment un. Leur point de concours A eft la pointe de l'angle; elles en font les côtés. On exprime cet angle ou tout autre, par trois lettres B AC, dont celle du milieu marque toujours la pointe, & quelquefois par cette lettre feule.

197. Une ligne DE eft perpendiculaire à une autre Fig. an lorfqu'elle tombe fur elle, fans pancher d'un côté ni d'autre, ou, ce qui revient au même, lorfqu'elle fait avec cette autre ligne deux angles DEA, DEB égaux. Et une ligne C E eft oblique à une autre AB, lorfqu'elle panche plus d'un côté de cette ligne que de l'autre, ou, ce qui revient au même, lorfqu'elle fait avec cette autre des angles C E A, C E B inégaux.

198. On appelle angle droit un des angles égaux formés par une ligne D E perpendiculaire à une autre A B; angle aigu, le plus petit C E B des angles que forme une ligne CE oblique à une autre AB; & angle obtus, le plus grand CEA de ces deux angles. L'un CEB des angles que fait une ligne CE oblique à une autre ligne A B, eft appellé fupplément de l'autre, parce qu'il vaut tout ce qui manque à l'autre CEA, pour être égal à deux angles droits DEA, DE B.

THEOREMES

199. La grandeur d'un angle ne dépend pas de la lonFig. 1. gueur de fes côtés, puifque les lignes CA, BA n'en feront pas plus écartées, quoiqu'on les prolonge en D & en O; ainfi l'angle DAO CAB.

=

200. Une droite quelconque en tombant fur une autre fait avec elle des angles équivalens à deux droits; car elle Fig. 2. fait deux angles droits DEA, DEB, fi elle est perpendiculaire comme DE (198); ou deux angles CÈ A, CEB qui tiennent la place de deux droits, fi elle eft oblique, comme CE.

201. On ne peut mener dans un même plan qu'une perpendiculaire fur un même point d'une ligne donnée (197), puifqu'il n'y a qu'une pofition dans laquelle une ligne fait avec une autre, & fur le même point deux angles égaux en demeurant dans le même plan.

202. Tous les angles droits font égaux; car fi l'on tranfporte la ligne A B, (fig. 2.) fur la ligne B B (fig.3.), le point E fur le point E, les perpendiculaires E D, E D fe confondront, puifque fi elles ne fe confondoient pas, deux perpendiculaires différentes feroient élevées fur le même point E de la ligne B B, ce qui eft impoffible (201); & par conféquent les angles DEA, DEB (fig. 2.) font égaux aux angles DEB, DE B, (fig. 3. ) ; mais il y a une infinité d'angles aigus on obtus tous inégaux, ce qui eft évident.

203. Les angles CEB, AEG oppofés par la pointe, formés par l'interfection de deux droites AB, CG, font égaux; car les angles CE B, BEG valent deux angles droits, de même que les deux angles B EG, AEG (200): donc fi de ces deux quantités égales on ôte l'angle commun BEG, les reftes, qui font les anglesAEG, CEB, feront égaux...

204. Une ligne D E perpendiculaire à une autre AB,

&qui la coupe, fait avec elle deux angles droits en deffous comme en deffus; car les angles QEA, QEB font égaux (203) à leurs oppofés par la pointe DE B, DE A; & par conféquent ils font droits comme eux (202).

205. Si une ligne DE eft perpendiculaire à une autre AB, cette autre eft perpendiculaire à la premiere. Les angles BED, BEQ font droits (204): donc B E eft perpendiculaire à DQ.

206. Tant de droites qu'on voudra DE, CE, qui vont aboutir au même point E d'une droite A B, ou qui la coupent, font avec elle des angles qui valent deux angles drois dans le premier cas, & quatre dans le fecond; car elles font des angles, qui dans le premier cas occupent la place de deux angles droits (200), & de quatre dans le fecond cas (204).

207. Une droite DE perpendiculaire à une autre B B, Fig. 3. a tous les points également éloignés de deux mêmes points de la ligne BB fur laquelle elle tombe; ainfi fuppofant que le point E eft également éloigné des points C, C, le point D le fera auffi; car fi l'efpace DEC fe replie fur la ligne DE, les angles en E étant égaux (197), la ligne E C fe confondra avec la ligne E C ; & à cause de l'égalité de ces deux lignes, le point C fera fur le point C; & par conféquent les lignes DC, DC fe couvriront exactement : donc elles font égales.

208. Réciproquement une ligne D E qui a tous fes points également éloignés de deux mêmes points C, C de la ligne BB fur laquelle elle tombe, eft perpendiculaire à cette li gne; car il n'y a qu'une pofition dans laquelle une droite, qui part du point E, ait tous fes points également éloignés des deux mêmes points C, C de la ligne B B; or une perpendiculaire à la ligne B B qui paffe par E, a tous fes points également éloignés des points C, C (207) donc une ligne qui paffera par

les mêmes points fera perpendiculaire à la ligne B B. 209. Il fuffit de fçavoir qu'une ligne DE a deux points D, I également éloignés de deux mêmes points C, C de la ligne fur laquelle elle tombe, pour être affuré qu'elle eft perpendiculaire à cette ligne; car une perpendiculaire à la ligne B B, qui auroit tous fes points également éloignés des points C, C, pafferoit néceffairement par les points D,I (207): donc elle fe confondroit avec la ligne DE (194): donc la ligne DE eft perpendiculaire à la ligne B B.

210. De toutes les droites DE, DC, D B qu'on peut tirer d'un même point D fur une même droite B B, 1o. la perpendiculaire eft la plus courte: 2°. les plus obli ques font les plus longues. Soit prolongée la perpendiculaire DE en O, enforte que DE=EO; & tirez les lignes CO, BO, la ligne C E étant perpendiculaire à la ligne DO, les lignes DC, CO feront égales (207) ; & la courbe DCO étant plus longue que la droite DO (192), la moitié DC de la premiere est plus longue que la moitié D E de la feconde: donc toute oblique DC eft plus longue que la perpendiculaire D E,

La courbe DBO eft plus longue que la courbe DCO: donc la moitié DB de la premiere eft plus longue que la moitié DC de la feconde: donc les plus obliques font les plus longues.

211. La perpendiculaire mefure exactement la distance d'un point à une droite, puifqu'elle eft la plus courte ligne qu'on puiffe y mener de ce point (210).

212. On ne peut mener qu'une perpendiculaire d'un point à une ligne donnée, puifqu'elle eft la plus courte de toutes celles qu'on peut y mener de ce point.

PROBLEMES.

213. Pour élever une perpendiculaire ED fur un point

quelconque E d'une ligne donnée AB, prenez avec le Fig, zò compas deux points A, B, également éloignés de E, fixez fucceffivement fur ces deux points la pointe du compas, & en gardant la même ouverture, faites décrire à l'autre pointe des courbes qui fe croifent en D; du point d'interfection D, tirez une ligne en E, elle fera la perpendiculaire demandée (209); car elle aura deux points E, D, dont chacun fera auffi éloigné de A que de B, puisque par la conftruction, la même ouverture de compas qui mefure la diftance A E, mefure auffi la diftance BE, & que la même qui mefure la distance A D, mefure pareillement la distance D B.

Pour élever une perpendiculaire fur l'extrémité E d'une ligne donnée A E, continuez cette ligne, & opérez comme ci-devant (213).

214. Pour mener fur une ligne donnée A B une perpendiculaire DE d'un point donné D hors de cette ligne, fixez la pointe du compas en D & marquez avec l'autre pointe les points A, B, également éloignés de D; enfuite fixant fucceffivement fur ces deux points la pointe compas, décrivez avec l'autre pointe des courbes qui fe croifent en Q; joignez les points Q, D par une droite, ce fera la perpendiculaire cherchée (209), puifque par la conftruction les points D, Q font également éloignés des points A, B de la ligne A B.

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215. Pour couper en deux également une ligne donnée A B par une perpendiculaire DQ, fixez fucceffivement fur fes extrémités A, B, une pointe de compas, décrivez avec l'autre, en gardant toujours la même ouverture, des courbes qui fe croifent en D & en Q; menez DQ, ce fera la perpendiculaire cherchée; car ayant les points D, Q également éloignés des points A, B par la conftruction, le point E le fera aufli (207); & par conféil fera le milieu de la ligne A B. 216. Pour faire fur un point quelconque E d'une ligne

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