A

donnée AB (fig. 2.) un angle C E B égal à un angle donné C A B (fig. 1.), je fixe la pointe du compas en A, & faifant rouler l'autre pointe, je marque deux points I, K également éloignés de A; je fixe enfuite la pointe du compas en E (fig. 2.), & je décris la courbe indéfinie POR; je prens encore avec le compas l'intervalle I K (fig. 1.), & je le porte fur PO (fig. 2.) ; par les points O, E je mene CE, qui fait l'angle CEB égal à l'angle donné C A B; car fi l'on tranfporte l'angle C A B fur l'angle CEB, A fur E, A B fur E B, K tombera fur P, la courbe K I s'appliquera à la courbe POR, & par la conftruction le point I de la courbe K I fera fur le point O de la courbe PR: donc les lignes CA, CE ayant deux points communs, fe confondront (194).

DES LIGNES PARALLELES.

DEFINITIONS.

Fig. 4 217. UNE ligne droite KE, dont tous les points font également éloignés d'une autre ligne AF, eft parallele à cette ligne.

218. Parmi les angles que fait la fécante LG de deux paralleles KE, AF avec ces deux lignes, ceux qui font placés du même côté de la fécante tous les deux en deffus, ou tous les deux en deffous des paralleles, font appellés correfpondans, comme D & O, E & H, C & B, R & I. Ceux qui font placés tous les deux entre les paralleles, l'un d'un côté de la fécante, l'autre de l'autre, font appellés alternes internes, comme H&C, I& D. Ceux qui étant placés l'un d'un côté de la fécante, l'autre de l'autre, font tous les deux hors des paralleles, font appellés alternes externes comme O & R, B&E.

THEOREM E S.

219. Deux lignes paralleles à une troifiéme font paral leles entr'elles.

220. Deux paralleles prolongées à l'infini ne fe rencontreroient jamais; ce font là des conféquences évidentes de la définition (217) des paralleles,

221. Il fuffit de fçavoir qu'une ligne K E a deux points, Fig. 51 O, D également éloignés d'une autre ligne A F, pour être affuré que ces lignes font paralleles; car une ligne qui pafferoit par l'un de ces points O, & qui feroit par tout également éloignée de l'autre ligne, pafferoit néçeffairement par le point D: donc elle fe confondroit avec la ligne KE (194): donc la ligne Ķ E est parallele à la ligne AF.

222. Toutes les lignes OR, DI, tirées de différens points O, D d'une droite K E perpendiculairement à fa parallele AF font égales. Et réciproquement, fi deux lignes OR, DI, tirées de différens points O, D d'une droite K E perpendiculairement à une autre droite A F font égales, ces deux droites font paralleles; car la perpendiculaire eft la mefure exacte de la distance d'un point à une droite (211): donc fi une ligne K E a tous fes points O, D également éloignés d'une autre ligne A E; ou, ce qui revient au même (217), fi elle lui eft parallele, les perpendiculaires OR, DI, tirées des points quelconques O, D de l'une fur l'autre, feront égales ; & réciproquement, fi deux de ces perpendiculaires OR, DI font égales, la ligne KE a deux points O, D également éloignés de la ligne AF; & par conféquent (221) elle lui eft parallele.

223. Deux droites OR, DI perpendiculaires à une troifiéme AF, font paralleles entr'elles; car fi elles concouroient, ces deux lignes partant d'un même point. feroient perpendiculaires à la même ligne, ce qui est impoffible (212).

Fig. 4.

224. Une droite DI perpendiculaire à une ligne AF eft auffi perpendiculaire à fa parallele KE; enforte que fi du point I on mene une perpendiculaire à la ligne KE, ce fera la ligne même I D; car foit IO cette perpendiculaire, elle fera plus courte que ID; & fi du point O on mene la perpendiculaire OR à la ligne A F, elle fera plus courte que O I (210), & par conféquent plus courte que ID: donc les lignes OR, DI, tirées de différens points d'une droite K E perpendiculairement à fa parallele A F, ne feroient pas égales, ce qui eft impoffible (222).

225. Parmi les angles que fait la fécante LG de deux paralleles KE, AF, 1°. les angles alternes internes DGI,OIR font égaux. Soient les perpendiculaires DI, OR à la ligne AF. 1°. Elles font égales (222), 2o. paralleles (223), 3°. perpendiculaires à KE (224): donc les lignes OD, RI, qui font auffi des perpendiculaires entre paralleles (205), font égales (222). Cela pofé, qu'on conçoive que l'efpace ODI fe déplace, de façon que la pointe l'aille s'appliquer à la pointe O de l'efpace ORI, la ligne ID à fon égale OR, le point D fera fur le point R; & à caufe des angles droits D, R, la ligne D O fe confondra avec fon égale R I, la pointe O de l'efpace OID fera fur le point I: donc la ligne OI de l'efpace O DI fe confondra avec la ligne 10 de l'efpace ORI: donc les angles DOI, OIR auront leurs côtés confondus; & par conféquent ils font égaux.

Les angles alternes internes aigus I, D, étant égaux, les alternes obtus H, C, qui font les fupplémens des premiers, font auffi égaux.

226. 2°. Les angles alternes externes O, R on B, E font égaux; car les angles O, R font oppofés par la pointe aux angles alternes internes aigus I, D, & les angles B, E aux alternes internes obtus H, C; or

ceux-ci étant égaux (225), ceux-là le feront auffi (203).

227.3°. Les angles correspondans font égaux ; car l'angle I eft égal à fon alterne D (225); il eft auffi égal à fon oppofe par la pointe O (203) donc les correfpondans O, D font égaux : leurs fupplémens B, C auffi correfpondans font donc égaux; enfin les angles I, R correfpondans, font oppofés par la pointe aux correfpondans égaux O, D, & les angles H, E aux angles égaux B, C: donc chacun de ces angles eft égal à fon correfpondant.

228. 4. Deux angles dont l'un foit aigu & l'autre obtus pris à volonté, par exemple les angles O, C, font Supplément l'un de l'autre ; car l'angle O est égal à fon correfpondant D (225); & celui-ci eft fupplément de l'angle C. La démonftration eft la même pour deux autres angles quelconques, dont l'un foit aigu & l'autre obtus, fi l'un eft fait par une parallele, l'autre par

l'autre.

229. Il fuffit de fçavoir que la fecante LG de deux lignes KE, AF fait les angles alternes I, Dégaux, pour être affuré que ces lignes font paralleles. On en feroit également affuré, fi deux angles correfpondans quelconques B, C (fig. 4.) étoient égaux. Car fi l'on commence par fuppofer que la ligne K E eft parallele à la ligne AF, les angles alternes I, D feront néceffairement égaux (225) ; or ces angles ne peuvent demeurer égaux fi la ligne K E ne demeure dans la même pofition, tandis qu'elle coupera L G au même point: donc fi les angles I, D font égaux, les lignes KE, A F font paralleles. Pour la même raifon fi les angles correfpondans B, C font égaux, les lignes KE, AF font paralleles.

PROBLEME.

230. Pour mener une parallele K E à une ligne donnée Fig. 5:

AF par un point donné O; de ce point j'abbaiffe à la ligue donnée la perpendiculaire O R ; d'un autre point quelconque I de la ligne donnée, j'éleve la perpendiculaire ID, que je fais égale à OR; & par les points OD je fais paffer une droite K E, qui eft la parallele cherchée, puifqu'à caufe des perpendiculaires égales OR, DI, la ligne K E a deux points O, D également éloignés de la ligne AF,

LEÇON SECOND E,
DES TRIANGLES,

Fig. 6.

DEFINITIONS.

231. TROIS lignes qui fe rencontrent forment un triangle, qu'on appelle ifocelle, fi deux de fes côtés font égaux, comme DCC (fig. 3.); équilatéral, s'il a les trois côtés égaux, comme A EB (fig. 27. ) ; scalene, les trois côtés font inégaux, comme HGI (fig. 6.); rectangle, fi un des trois angles eft droit, comme DEB (fig. 3.); obtufangle, fi un de fes angles eft obtus, comme DCB (fig. 3.); acutangle, fi tous fes angles font aigus, comme HGI (fig. 6.). Le côté oppofé à un angle eft appellé la base de cet angle. On donne à la bafe de l'angle droit le nom particulier d'hypothénufe

On appelle côtés homologues dans deux triangles A, B les deux plus petits GH, KL, les deux plus grands HI, LM, & les deux moyens GI, KM ; & angles ho¬ mologues, ceux qui font oppofés à des côtés homologues,