donnée AB (fig. 2.) un angle CEB égal à un angle donné CAB (fig. 1.), je fixe la pointe du compas en A, & faisant rouler l'autre pointe, je marque deux points I, K également éloignés de A; je fixe ensuite la pointe du compas en E (fig. 2.), & je décris la courbe indéfinie POR; je prens encore avec le compas l'intervalle I K (fig. 1.), & je le porte sur PO (fig. 2.); par les points O, E je mene CE, qui fait l'angle CEB égal à l'angle donné CAB; car si l'on tranfporte l'angle CAB sur l'angle CEB, A fur E, A B fur EB, K tombera fur P, la courbe K I s'appliquera à la courbe POR, & par la construction le point I de la courbe K I sera sur le point O de la courbe PR: donc les lignes CA, CE ayant deux points communs, fe confondront (194).

DES LIGNES PARALLELES.

DEFINITIONS.

Fig. 4. 217. UNE ligne droite KE, dont tous les points font également éloignés d'une autre ligne AF, est parallele à cette ligne.

218. Parmi les angles que fait la fécante LG de deux paralleles KE, AF avec ces deux lignes, ceux qui sont placés du même côté de la sécante, tous les deux en deffus, ou tous les deux en dessous des paralleles, sont appellés correspondans, comme D & O, E &H, C & B, R & I. Ceux qui sont placés tous les deux entre les paralleles, l'un d'un côté de la sécante, l'autre de l'autre, sont appellés alternes internes, comme H & C, I & D. Ceux qui étant placés l'un d'un côté de la sécante, l'autre de l'autre, sont tous les deux hors des paralleles, font appellés alternes externes comme O & R, B & E.

THEOREMES.

219. Deux lignes paralleles à une troisiéme sont paralleles entr'elles.

220. Deux paralleles prolongées à l'infini ne se rencontreroient jamais; ce sont là des conféquences évidentes de la définition (217) des paralleles.

221. Il fuffit de sçavoir qu'une ligne KE a deux points, Fig. O, Dégalement éloignés d'une autre ligne AF, pour être assuré que ces lignes font paralleles; car une ligne qui passeroit par l'un de ces points O, & qui seroit par tout également éloignée de l'autre ligne, passeroit nécessairement par le point D: donc elle se confondroit avec la ligne KE (194): donc la ligne ĶE est parallele à la ligne A F.

222. Toutes les lignes OR, DI, tirées de différens points O, D d'une droite KE perpendiculairement à sa parallele AF font égales. Et réciproquement, fi deux lignes OR, DI, tirées de differens points O, D d'une droite KE perpendiculairement à une autre droite AF sont égales, ces deux droites sont paralleles; car la perpendiculaire est la mesure exacte de la distance d'un point à une droite (211): donc fi une ligne K E a tous ses points O, D également éloignés d'une autre ligne A E; ou, ce qui revient au même (217), si elle lui est parallele, les perpendiculaires OR, DI, tirées des points quelconques Q, D de l'une sur l'autre, feront égales ; & réci proquement, si deux de ces perpendiculaires OR, DI sont égales, la ligne KE a deux points O, D également éloignés de la ligne AF; & par conféquent (221) elle lui est parallele.

223. Deux droites OR, DI perpendiculaires à une troisième AF, font paralleles entr'elles; car si elles concouroient, ces deux lignes partant d'un même point feroient perpendiculaires à la même ligne, ce qui est impoffible (212).

Fig. 4.

224. Une droite DI perpendiculaire à une ligne AF est aussi perpendiculaire à sa parallele KE; enforte que si du point I on mene une perpendiculaire à la ligne KE, ce sera la ligne même ID; car foit IO cette perpendiculaire, elle sera plus courte que ID; & fi du point O on mene la perpendiculaire OR à la ligne A F, elle fera plus courte que O I (210), & par conféquent plus courte que ID: donc les lignes OR, DI, tirées de différens points d'une droite K E perpendiculairement à sa parallele A F, ne seroient pas égales, ce qui eft impoffible (222).

225. Parmi les angles que fait la sécante LG de deux paralleles KE, AF, 1°. les angles alternes internes DGI, OIR font égaux. Soient les perpendiculaires DI, OR à la ligne A F. 1o. Elles sont égales (222), 2o. paralleles (223), 3°. perpendiculaires à KE (224): donc les lignes OD, RI, qui font aussi des perpendiculaires entre paralleles (205), font égales (222). Cela posé, qu'on conçoive que l'espace O D I se déplace, de façon que la pointe I aille s'appliquer à la pointe O de l'espace ORI, la ligne ID à fon égale OR, le point D sera sur le point R; & à cause des angles droits D, R, la ligne D O fe confondra avec son égale R I, la pointe O de l'espace OID sera sur le point I: donc la ligne O I de l'espace O DI se confondra avec la ligne 10 de l'espace ORI: donc les angles DOI, OIR auront leurs côtés confondus; & par conféquent ils font égaux.

Les angles alternes internes aigus I, D, érant égaux, les alternes obtus H, C, qui font les supplémens des premiers, font aussi égaux.

226. 29. Les angles alternes externes O, Rou B, E font égaux; car les angles O, R font oppofés par la pointe aux angles alternes internes aigus I, D, & les angles B, E aux alternes internes obtus H, C; or ceux-ci étant égaux (225), ceux - là le seront aussi (203).

227. 3°. Les angles correspondans sont égaux; car l'angle I est égal à son alterne D (225); il est aussi égal à fon opposé par la pointe O (203): donc les correspondans O, D font égaux: leurs supplémens B, C aussi correfpondans font donc égaux; enfin les angles I, R correfpondans, sont opposés par la pointe aux correfpondans égaux O, D, & les angles H, E aux angles égaux B, C: donc chacun de ces angles est égal à fon correspondant.

228. 4°. Deux angles dont l'un soit aigu & l'autre obtus pris à volonté, par exemple les angles O, C, font Supplément l'un de l'autre ; car l'angle O est égal à fon correspondant D (225); & celui-ci est supplément de l'angle C. La démonstration est la même pour deux autres angles quelconques, dont l'un foit aigu & l'autre obtus, si l'un est fait par une parallele, l'autre par l'autre.

229. Il suffit de sçavoir que la secante LG de deux lignes KE, AF fait les angles alternes I, D'égaux, pour être assuré que ces lignes sont paralleles. On en feroit également assuré, fi deux angles correspondans quelconques B, C (fig. 4.) étoient égaux. Car fi l'on commence par fuppofer que la ligne K E est parallele à la ligne AF, les angles alternes I, D feront nécessairement égaux (225); or ces angles ne peuvent demeurer égaux si la ligne K E ne demeure dans la même position, tandis qu'elle coupera LG au même point: donc si les angles I, D font égaux, les lignes KE, AF sont paralleles. Pour la même raison si les angles correspondans B, C font égaux, les lignes KE, AF font paralleles.

PROBLEME.

2.30. Pour mener une parallele KE à une ligne donnée Fig. 5.

1

AF par un point donné O; de ce point j'abbaisse à la ligne donnée la perpendiculaire OR; d'un autre point quelconque I de la ligne donnée, j'éleve la perpendiculaire ID, que je fais égale à OR; & par les points OD je fais paffer une droite KE, qui est la parallele cherchée, puisqu'à cause des perpendiculaires égales OR, DI, la ligne K E a deux points O, Dégalement éloignés de la ligne A F.

LEÇON SECONDE,

DES TRIANGLES.

Fig. 6.

DEFINITIONS.

231. TROIS lignes qui se rencontrent forment un triangle, qu'on appelle isocelle, si deux de fes côtés sont égaux, comme DCC (fig. 3.); équilatéral, s'il a les trois côtés égaux, comme AEB (fig. 27.); Scalene, les trois côtés font inégaux, comme HGI (fig. 6.); rectangle, si un des trois angles est droit, comme DEB (fig. 3.); obtufangle, fi un de ses angles est obtus, comme DCB (fig. 3.); acutangle, fi tous ses angles font aigus, comme HGI (fig. 6.). Le côté opposé à un angle est appellé la base de cet angle. On donne à la base de l'angle droit le nom particulier d'hypothénuse.

On appelle côtés homologues dans deux triangles A, B les deux plus petits GH, KL, les deux plus grands HI, LM, & les deux moyens GI, KM; & angles homologues, ceux qui font opposés à des côtés homo logues,