LEÇON TROISIE’ME.

DES PROPRIETE'S DU CERCLE.

NOTIONS PRELIMINAIRES.

DEFINITIONS.

Fig. 10. 251. S1 la ligne A B roule fur fon point C que je fuppofe en être exactement le milieu, tandis que fon point A ira fucceffivement en F, en D & en B, le point B ira en G, en E & en A. La trace de cette ligne mobile s'appelle un cercle, la courbe décrite par les points A, B en eft la circonference. Une partie quelconque A F de la circonférence eft un arc. L'efpace terminé par la circonférence du cercle en eft l'aire ou le plan; le point C de cet efpace qui a fervi de pivot à la mobile eft le centre. Une ligne quelconque C A, tirée du centre à la circonférence eft un rayon. Une ligne A B tirée d'un point de la circonférence à l'autre, & qui paffe par le centre, eft un diamètre ; fi elle ne passe pas par le centre, comme A E, c'est une corde. Si une corde eft prolongée au-delà du cercle, comme K D, c'eft une fecante enfin une droite OP qui touche la circonférence d'un cercle fins la couper, eft une tangente.

252. La partie Cm de la mobile décrit évidemment un cercle, dont m n eft un arc en même tems que la mobile entiere décrit le cercle A D BE A. Ces deux cercles s'appellent concentriques, à caufe qu'ils ont le même centre; ils font toujours à une égale distance A m

l'un de l'autre.

99 253. Il fuit de la construction du cercle qu'il peut être défini une figure terminée par une courbe, dont tous les points font également éloignés du centre; fçavoir, de la moitié A C de la mobile A B, qui l'a formé; ou, cé qui revient au même, le cercle eft une figure dont tous les rayons, & par conféquent les diamètres, qui font doubles des rayons, font égaux.

THE ORE MES.

254. Le rayon CD eft perpendiculaire à la tangente OP; car le rayon eft la plus courte ligne qu'on puiffe mener du centre à la tangente, puifqu'elle n'entre pas dans le cercle. Donc, &c. (210).

255. Le diamètre divife le cercle, & la circonférence en deux également ; car la moitié C A de la mobile A B a balayé évidemment autant d'efpace pour arriver dans la fituation CB, & le point A a fait autant de chemin pour arriver en B, que l'autre moitié CB de la mobile a balayé d'efpace pour arriver dans la fituation CA, & que le point B a fait de chemin pour arriver en A.

256. On divife la circonférence de tout cercle, petit ou grand, en 360 parties égales, qu'on appelle degrés, chaque degré en 60 minutes, chaque minute en 60 fecondes, chaque feconde en Go tierces, &c. ; cette divifion a paru la plus commode. D'où il fuit grandeur d'un degré eft proportionnelle à celle de la circonférence dont il fait partie (116), puifque les degrés étant les 360 mes parties des circonférences entieres, en font des parties femblables.

męs

que la

257. Une des principales propriétés du cercle eft 'd'être la mesure des angles. Nous en traiterons dans un article féparé, qui contiendra la folution de ce problème général, déterminer la mesure d'un angle en quelque endroit que fon fommer foit placé, pourvu que fes côtés

prolongés, s'il le faut, coupent ou touchent une circonférence de cercle dans des points déterminés.

Fig. 10.

Fig. 1.

& 2.

DE LA MESURE DES ANGLES.

DEFINITIONS.

258. UN angle A CF (fig. 10.) dont la pointe eft au centre d'un cercle, s'appelle angle au centre; il s'appelle angle inferit, s'il eft formé à la circonférence par le concours de deux cordes, comme B A B (fig. 11.); angle du fegment, s'il eft formé à la circonférence par le concours d'une corde & d'une tangente, comme DAB, ou CAB (fig. 12. ).

THEOREMES.

259. On mefure tout angle ACF par l'arc de cercle AF compris entre fes côtés, & décrit de la pointe C comme centre; car l'arc A F mesure le nombre de pas que feroit le point A pour arriver en F, fi la ligne CA rouloit fur fon point C jufqu'à ce qu'elle fut nue dans la fituation C F.

parve

Si donc l'arc A F eft de 30 degrés ( ou comme on l'écrit ordinairement de 30°), on dit que l'angle ACF elt de 30°, & on appelle un angle double, triple, &c. d'un autre angle, fi l'arc compris entre fes côtés contient deux fois, trois fois, &c. autant de degrés que l'arc compris entre les côtés du fecond.

*260. Scholie. Afin que l'arc compris entre les côtés d'un angle & décrit de fa pointe comme centre, puiffe en être la mefure, il fuffit qu'un angle foit déterminé par le nombre des degrés de cet arc; or cela eft ainfi : 1o. puifque les arcs IK, PO compris entre les côtés de deux angles égaux, DAO, CE B, & décrits à la

même distance de la pointe, font néceffairement égaux; ce qui paroît évident fi l'on couche l'angle DAO fur l'angle C EB, I fur O, K fur P; car dans ce cas les arcs i K, OP fe confondront, puifque les angles étant dans cette pofition, il résulterà la même trace du mouvement du point K, ou du point P: 2°. puifque les arcs AF, mn décrits à différentes diftances de la Fig. 102 pointe C du même angle, ou, ce qui est la même chofe, de deux angles égaux, contiennent un même nombre de degrés; car les points A, m de la mobile A B commencent & finiffent en même-tems leur révolution; ils en ont fait auffi en même-tems le quart, le tiers, la moitié, &c. : donc les arcs A F, mn, décrits en même-tems, font des parties femblables des circonférences entieres dont ils font partie, & par conféquent ils contiennent un même nombre de degrés.

261. Un angle droit DCB a pour mesure un arc de 90°, ou le quart du cercle, car il a pour mesure l'arc D B (259) or l'arc D B eft le quart du cercle, car A D B en eft la moitié (255); & DC ne penchant pas plus vers A que vers B, il refte à D autant de chemin à faire pour arriver en B, qu'il en a fait depuis le point A; ainsi DB eft la moitié de A D B, ou le quart de A D BE A. 262. Un angle aigu FCA a pour mesure moins de 90°, & un angle obtus FCB plus de 90°; car mier comprend entre fes côtés moins que le quart du cercle décrit de fa pointe comme centre, & le fecond en comprend plus que le quart.

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263. Une ou plufieurs droites F C, DC qui fe terminent au même point C d'une droite AB, ou qui la coupent, font fur elle des angles, dont la fomme eft dans le premier cas, de 180°, & dans le fecond, de 360°; car fi l'on prend C pour centre d'un cercle dont A B fera le diamètre, les angles ACF, FCD, DCB comprendront, pris enfemble entre leurs côtés, la demi

circonférence ADB (255); & fi l'on y joint les angles BCG, GCE, ECA, ils comprendront tous enfemble entre leurs côtés la circonférence entiere.

264. Étant connu un des angles ACF formés par la rencontre ou par l'interfellion de deux lignes AB, FC, ou A B, FG, on connoît les autres. 1°. On connoît F C B, puifqu'étant le fupplément de FCA, il eft de 180° moins l'angle connu FCA 2°. chacun de ces deux angles est égal à son oppofé par la pointe.

265. Dans tout triangle, fi on connait deux angles, on connoît le troifiéme; car puifqu'il eft le fupplément des deux autres (235), il eft de 180° moins les degrés qui mefurent les deux autres. Pour la même raifon, fi l'on connoît un angle d'un triangle, on connoît la fomme des deux autres.

266. Un angle inferit quelconque B A B a pour mesure la moitié de l'arc B B compris entre fes côtés, c'est-à-dire que fi l'arc B B eft de 60°, un arc qu'on décriroit du point A, comme centre, & qui feroit compris entre les côtés AB, AB, ne feroit que de 30°.

Soit décrit du point A, pris pour centre, & de l'intervalle A C=CB l'arc FG; foient tirés le diamètre A D & les rayons C B, CB, le triangle C A B eft ifocele (231), à caufe des rayons CA, CB ( 253 ); les angles CAB, CB A font égaux (243), & ils valent, pris enfemble, l'angle extérieur B CD (237): donc l'un d'eux C A B n'eft que la moitié de l'extérieur BCD: donc l'angle total B A B n'eft que la moitié de l'angle total B CB, qui a pour mefure l'arc B B. Cela pofé, foit l'angle BCI, la moitié de l'angle total BC B, il fera égal à l'angle B A B: donc les arcs BI, BI, FG, qui mefurent les angles égaux BCI, BCI, BAB, & qui font décrits à la même distance de la pointe, font égaux (260), & par conféquent contiennent un même nombre de degrés : donc l'arc