COROLLAIRE II. مرح 31. L'o N peut encore changer le rapport ff ou en dd un autre rapport égal & l'on aura ff-S n ce qui donne ff —ss . uu :: m. n. On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12n7, 9, 10, 11, 12, 13 & 14. 32. COROLLAIRE III. IL eft clair (n. 25 & 29 ) que le rectangle de l'un des diametres conjuguez par fon parametre eft égal au quar ré de l'autre diametre. 33. PROPOSITION XIII. Problême. DEUX lignes quelconques FS & MV qui fe coupent par le milieu en Cà angles obliques étant données de pofition &de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Ellipfe, déterminer la pofition & la grandeur des axes de la méme Ellipfe. Cette Propofition contient deux cas qu'on pourroit neanmoins reduire à un feul, comme on va voir dans le fecond: le premier eft lorfque les lignes FS & MV font égales: le fecond lorfqu'elles font inégales. 34. PREMIER CAS. AYANT YANT joint les points M, S & M, F, & ayant divifé MS & MF par le milieu en P & Q, on menera les lignes CP, CQ indéfiniment prolongées de part & d'autre qui fe couperont à angles droits en C, puifque CS, CM, CF font égales, & que les points P & divifent par le milieu MS & MF. Soit enfuite fait PI➡ CP & QH=CQ,& ducentre Cpar I, & par Hdécrit deux cercles qui couperont CP & CO aux points A, B, D & E. Je dis que l'Ellipfe dont dont AB & DE font les axes, paffera par les points F 1 c. 58. M, F, V & S. DEMONSTRATION. la pro A YANT nommé AC, oa CB,a; CD, ou CE, b; 2 =✔—bb; c'est pourquoi (no. 19 & 21 ) les points S, M,V & S, font à l'Ellipse dont les axes font AB,& DE. C. Q. F. D. ΟΙΤ SECOND CAS. 35 S OIT prolongée CM du côté de M, & foit faite MK F 1 G. 59. prife fur le prolongement, égale à la troifiéme proportionnelle à CM & CS ;& ayant mené par M la droite HMT parallele à FS, du point O milieu de CK, on élevera la perpendiculaire OG qui rencontrera HMT en un pointG; puifque (n° 13) MT eft tangente à l'Ellipfe dont MV & FS font deux diam. conjuguez;& que (no 1o) l'angle CMT eft obtus, & du centre G par C, l'on décrira un cercle qui paffera par K, & coupera MG aux points T & H, par où, & par C, l'on menera TC, & HC indéfiniment prolongées au-delà de C par rapport à T & à H: l'on menera enfuite MP & MQ paralleles à CH & à CT; & ayant pris AB moyenne proportionnelle entre CT & CP, CD, moyenné proportionnelle entre CH & CQ, fait CA CB, & CE CD. Je dis que l'Ellipfe dont AB& AD ( qui à caufe du cercle fe coupent à angles droits) font les axes, paffera par les points M, F, V & S. DEMONSTRATION. AYANT abaiffe du centre G fur CT la perpendiculaire GN, le point N divifera CT par le milieu en N, & P 2 partant NG= CH, & ayant abaiffé du point S sur la même CT la perpendiculaire SI, & nommé les données CB, ou CA, a; CD, ou CE, b; CM ou CV, d; CF, ou CS, f; & les indéterminées CP, ou QM, x; PM, ou CQ, y ; & CI, Z; l'on aura (Conft.) CP ( * ) . CB ( a ) :: CB ( a ) . CT =2 CQ (y). CD (b) :: CD ( b ), CH= NG="TP= ศศ bb & x G==,TP===x,& QH=y,& les triangles femblables CIS,MQH, TPM donneront C1(z) . CS (f) fx :: MQ(x). MH= & C1 (z). CS (f) :: TP aa ལ fx + (~~~—-x). TM = —; donc HM → MT, ou ز aaf l'angle droit GNT (GT2): = b+zzxx atyy Mais l'on a auffi MQ (x). QH (# — y ) = C1(K). IS= :: donc à caufe de l'angle droit CIS,ff (CS2 )=22+ —༢༢F eft une équation à une Ellipfe dont les axes font ( Prop. 1 ) AB = 2a, & DE=2b, & qui prouve au moins te Ellipfe paffe par les points M, & V; puifque (Hyp.) CM CV. Dr (Const.) CM (d). CS (ƒ) :: CS (ƒ) . MK=1: —CM × MK= Const. CS2)=ff, d'où l'on tire ««= aa-xx ; c'est pourquoi (n. 18) l'Ellipse passe auffi par les points S& F. C. Q. F. D. i COROLLAIRE. 36. S1 MV=FS;CM sera =MK; & partant les points O & G fe confondront avec le point M, qui fera le centre du cercle qui étant décrit par C déterminera la pofition des axes par fa rencontre avec HT en H & en T, qu'on déterminera comme on vient de faire. UNE équation à l'Ellipfe ab evy étant donnée, XX= décrire l'Ellipfe, lorsque les coordonnées font un augle oblique. On déterminera la grandeur des diametres conjuguez par la Prop 6. on trouvera les axes par la Propofition précedente, on déterminera les foyers par la troifiéme, & on décrira l'Ellipfe par la premiere. SECTION VII. Où l'on démontre les principales proprietez de l'Hyperbole décrite par des points trouvez fur un Plan. FIG. 60. XIV. PROPOSITION I Theorême. U Nangle kot N angle quelconque HCK, & un point quelconque D dans cet angle, étant donnez de pofition fur un Pan. Si l'on mene librement par le point D une ligne IDK qui rencontre CH & CK en I& en K, & qu'on prenne fur IDK la partie KO = ID. -ID. Je dis que Les points O&D, & tous ceux que l'on trouvera comme on vient de faire le point O, en menant d'autres lignes par le point D, feront à une Hyperbole, dont CH & CK font les afym. ptotes. AYA DEMONSTRATION. ༢. YANT mené par les points D & O, les lignes DL, OG paralleles à CK, & DN, OF paralleles à CH, & nommé les données DL, ou CN, ou(Conft.) FK, c; DN, ou LC, d; & les indéterminées CF, ou GO,f; FO, ou CG ou NR, 2; NF ou RO fera fc,& DR,d — Z; les triangles femblables DRO, OFK donneront d (DR).f-c(RO) :: z (OF) . c ( FK);donc cd — cz= ༢ fz— cz, ou cd=fz. Et comme cette équation eft la même que celle qu'on a trouvée (art. 9, n° 16), il fuit que la courbe décrite comme on vient de dire, eft une Hyperbole. Et parceque croiffant, z diminue, ou au contraire, & qu'on peut augmenter à l'infini, z diminuera auffi à l'infini ; c'eft pourquoi les lignes CH, & CK |