x= xx=aa-aa=0.& fi l'on faifoity=o, l'on auroit xx=ad; A THEOREM E. car x l'on ne I l'on affigne à une des inconnues d'une équation indéterminée du premier degré, où elles ne font multipliées ni par ay = bx lien à 2. S la ligne droite. elles-mêmes, ni entrelles, tant de valeurs arbitraires sle qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correfpondantes de l'autre inconnue, feront dans une ligne droite. SOIT DE'MONSTRATION. O IT l'équation ay=bx, en la reduifant en Analogie l'on a a.b:: x. y;foit prefentement une ligne droite AH, dont le point A foit fixe; & ayant pris fur AH l'intervalFIG. 3. le AB égal à la ligne donnée a, mené par le point B, la ligne BC égale à la ligne donnée b, qui faffe avec AH tel angle qu'on voudra, & mené par A & C, la droite AC indéfiniment prolongée. Il est clair qu'ayant pris fur AH un point quelconque D, mené DE parallelê à BC; & nommé AD, x; &DE, y; l'on aura toujours a. b:: x. y, en quelqu'endroit de la ligne AH que l'on prenne le point D, ou ce qui eft la même chofe, quelque grandeur arbitraire que l'on affigne à l'inconnue x, celle dey fera toujours déterminée par la ligne AG. De forte que la ligne AG eft lieu qui renferme tous les points qui fatisferont au Problème, qui doit être refolu par l'équation propofée ay=bx C. Q. F. D. COROLLAIRE. 3. SI lettre qui tient la place de x, eft constante; ainsi ayant pris fur AH, AD=c, & mené DE parallele à BC, DE fera la valeur dey; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, iln'y a que le feul point E qui réfout le Problême, puifque AD=c ne peut avoir differentes valeurs. COROLLAIRE II, 4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, font de même genre; puifqu'elles fe conftruifent par les mêmes lignes, & de la même maniere. 5. COROLLAIRE III. SI Dans l'équation precedente ay=bx, a étoit égale à b, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC=AB; & affignant à x la valeur arbitraire AD; DE (y) parallele à BČ, feroit égale à AD = x. L COROLLAIRE IV. 6. Il est évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entr'elles un rapport conftant, c'est-à-dire, qu'elles font l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raison d'égalité : comme dans l'équation précedente ay = bx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y = x, où x. y : : 1. I. 7. COROLLAIRE V. On N voit aussi avec évidence que dans les équations indeterminées du premier degré, une des inconnues croiffant ou diminuant, l'autre croît auffi ou diminue ; qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entr'elles le même rapport. Veritas 44: & sti Corollarii patel а в 2:4:0: :: 3: 2:4:: 4:00. 2:45:10. 2:4:: 6.12 &c. &c. &c. B iij + c'eff-à-dire, qu' elles foient dans la même équal tion multipliées par elles-mêmes et entr'elles, come ici: x2 = xy+ab. THEOREM E. 8. SI dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & où par confequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entr'elles, de quelque maniere que ce puiffe ètre, l'on affigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe. DANS DEMONSTRATION. AN S les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (n° 6) entr'elles un rapport constant. Orlorfque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entr'elles, ou de l'une & de l'autre maniere tout enfemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même rapport dans toutes les variations ou changemens de valeurs qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux feules, ou accompagnées feulement de lettres connues. Mais par l'hypothefe, ces deux lettres font multipliées ou par elles-mêmes ou entr'elles; donc elles ne peuvent garder un rapport conftant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut affigner: c'eft pourquoi, en affignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe. C. Q. F. D. C'est ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui fuit. EXEMPLE. 9. So IT l'équation yy=aa XX qui eft du fecond degré, Il est clair, 1. Que x croiffant, y diminue: car le fecond membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2°. On ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpaffe la ligne exprimée par a car le fecond membre deviendroit negatif; & la valeur de y feroit par confequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x=a, l'équation deviendra yy=aa-aa=0. Il eft donc évident que cette équation ne fe rapporte point à la ligne droite; puifque fes qualitez font toutes differentes de celles des équations du premier degré ; & partant qu'elle fe rapporte à une ligne courbe. Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen de fon équation yyaa-xx. Soit une ligne droite CH, FIG. 4, donnée de position dont l'extremitè C foit fixe, & dont les parties CP foient nommées x; foit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties C2 foient nommées, y; foit auffi une ligne donnée KL nommeé, a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; QM fera =CP=x,& PM=CQ=Y. Si l'on affigne prefentement tant de valeurs differentes qu'on voudra à l'une des inconnues x (CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correfpondantes de y (PM).De forte que tous les points M feront à la courbe à laquelle fe rapporte l'équation propofée yy = aa xx. Suppofons premierement x=0; le point P tombera en C, & le point M, fur la ligne CG, & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la fuppofition de x=o, l'on aura yy=aa, donc y =+a; c'eft pourquoi fi on prolonge CG du côté de C; & qu'on faffe Ce, & CE chacun=KL=a; CE fera la valeur pofitive de y, & Ce fa valeur negative, & les points E&e, feronta la courbe dont il s'agit. Suppofons en fecond lieu y=o, le point fe con l'on aura o aa—xx ou xx=aa ; fondra avec le point C, le point Mtombera fur CH, & donc xa; c'est pourquoi, fi l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & CA chacune égale KL➡a; CB fera la valeur pofitive de x, & CA sa valeur negative, & les points B&A, feront à la mêles qua me courbe en question. D'où l'on voit déja que tre points A, E, B, e, font également diftans du point C. Si l'on affigne à x une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on ولا aura en extrayant la racine quarrée y =±V aa−xx' d'où l'on tire cette conftruction. Ayant prolongé PM & demi du côté de P; du point C pour centre, pour diametre l'intervalle KL=a, l'on décrira un cercle qui coupera PMen M & m ; PM fera la valeur pofitive de & Pm fa valeur négative, & les points M, m feront à la courbe cherchée; car à caufe du triangle rectangle CPM; l'on a PM2 = CM-CP2, c'eft-à-dire en termes Algebriques yyaa-xx ; dont y=Vaa-xx. Oril eft évident que pour déterminer la valeur de y (PM) dans toutes les pofitions du point P, il faudra décrire un cercle du centre C, & du rayon KZ;c'eft pourquoi ce cercle eft lui-même la courbe cherchée; ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer: mais on a jugé à propos de faire fur l'équation au cercle, qui eft la plus fimple de toutes les courbes, les raifonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur moyen, d'en marquer les principales déterminations, & d'en découvrir les principales proprietez. COROLLAIRI |