SECTION VIII.

Où l'on donne la méthode de réfoudre les Problêmes indéterminez du premier & du Second degré, c'est-à-dire, de conftruire les équations à la ligne droite, & aux quatre courbes du premier genre, qui font le Cer cle, la Parabole, l'Ellipfe & l'Hyperbole.

XV.

L

METHODE.

'ON a vu dans les Sections précedentes 1°. Que les équations indéterminées, où les lettres inconnues ne font multipliées ni par elles-mêmes ni entr'elles, appartiennent à la ligne droite, & que lorfque ces équations n'ont que deux termes, comme celle-ci ay=bx, ou xy; les inconnues x & y ont leur origine au point d'interfection de deux lignes droites, dont l'une renferme tous ces points qui fatisfont au Problême, & l'autre, tous les points d'où menant des lignes paralleles à quelque ligne donnée, & terminées par la premiere, font la conftruction du Problême.

20. Que lorsqu'une équation à la parabole n'a que deux termes, l'un defquels eft le quarré de l'une des inconnues, & l'autre, le produit de l'autre inconnue par une quantité connue, comme ax=yy; les inconnues x, &y ont leur origine au fommet de l'axe, ou d'un diametre exprimé par x, & que l'orfqu'elle a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au fommet d'un diametre.

3°. Que lorsqu'une équation au cercle,ou à l'Ellipfe, ou aux diametres de l'Hyperbole, n'a que trois termes,deux defquels renferment les quarrez des deux inconnues, &

x & y ont leur origine au centre de ces trois Courbes, & que lorfque ces équations ont des feconds termes, l'origine des inconnues n'eft point au centre.

4°. Que lorfqu'une équation aux afymptotes d'une Hyperbole n'a que deux termes dont l'un eft le produit des deux indéterminées, & l'autre un Plan connu comme xy=ab,l'origine des inconnues x & y eft au fommet de l'angle des afymptotes, & que lorfque cette équation a plus de deux termes, l'origine des inconnues eft ailleurs; où l'on remarquera que les quantitez constantes', quelques compofées qu'elles fe puiflent rencontrer changent rien de ce que nous venons de dire; puifque l'on peut toujours mettre en leur place des valeurs fim

ples: par exemple cette équation

at — 64

сс

-xxyy, est

une équation au cercle dont le centre eft l'origine des indéterminées car on peut trouver (art. 5) une quantité fimple dd = ; de forte que mettant dd dans

CC

l'équation precedente en la place de

dra ddxxyy. fl en eft ainfi des autres.

Nous avons donné dans les Sections precedentes la maniere de conftruire les équations indéterminées du fecond degré, c'est à dire, de décrire les quatre courbes du premier genre par le moyen de leurs équations: mais ces équations étoient dans l'état où nous les venons de propofer, c'est-à-dire que l'équation à la ligne droite, à la parabole, & aux afymptotes de l'Hyperbole, n'avoit que deux termes; l'équation au cercle, à l'Ellipfe, & aux diametres de l'Hyperbole, n'avoient que trois termes parmi lesquels il n'y en avoit point de fecond: mais lorfqu'on réfout un Problême, les équations où l'on arrive ne font pas toujours, ou plûtôt, font rarement dans cet

état. Ce qu'il y a de conftant, c'est que lorfque les lettres indéterminées n'auront pas plus de deux dimenfions, foit qu'elles foient multipliées par elles mêmes ou entr'elles, les équations appartiendront toujours à une des quatre Courbes du premier genre. Il est même tres-fouvent facile de reconnoitre par la feule infpection d'une équation à laquelle des quatre elle appartient, par ce que l'on a dit ailleurs, & il n'y a qu'un Cas où l'on puiffe fe méprendre,qui eft lorfqu'une équation renferme deux quarrez inconnus, & que le produit des deux lettres inconnues fe rencontre encore dans quelqu'un de fes termes car ces équations appartiennent fouvent à l'hyperbole, & quelquefois au cercle, ou à la parabole, ou à l'Ellipfe: mais lorsqu'il n'y a qu'un quarré inconnu, & que le produit des deux inconnues fe trouve dans un autre terme, l'équation appartiendra toujours à l'hyperbole, & il fera libre de la réduire aux diametres; ou aux afymptotes, comme on va bien-tôt voir.

Il fuit de tout ceci que pour conftruire les équations qui ne font point dans l'état des précedentes, c'est-à-dire, pour décrire les Courbes aufquelles elles appartiennent, ou il faut donner d'autres regles que celles des trois Sections précedentes, ou il faut donner des regles pour ra mener ces équations à l'état où font celles des mêmes Sections, afin de fe fervir des mêmes regles dont on s'y est servi pour décrire ces Courbes : mais comme il va paroître un Livre de Monfieur le Marquis de l'Hôpital (pour l'intelligence duquel celui-ci ne fera peut-être pas inutile) dans lequel on trouvera des Méthodes de conftruire les équations indéterminées, telles qu'on les trouve en refolvant les Problêmes, on a jugé à propos de prendre le parti de ramener les équations indéterminées qui n'excedent point le deuxième degré, à l'état de celles par le moyen defquelles nous avons décrit les Sections coniques dans les trois Sections précedentes. Les moyens dont on fe fert pour changer d'état ces équations, font nommées réductions.

DES REDUCTIONS

Des Equations indéterminées du premier & du fecond degré. 1. Il n'y a que deux chofes qui empêchent les équations indéterminées du fecond degré, d'être femblables, ou dans le même état de celles par le moyen defquelles nous avons décrit les Courbes aufquelles elles appartiennent dans les trois Sections précedentes. Ces deux chofes font les feconds termes, & les rectangles compofez; de forte que pour les réduire, il n'y a qu'à faire évanouir par les regles ordinaires les feconds termes, & changer les rectangles, ou produits compofez en des rectangles, ou des produits fimples.

J'appelle rectangle compofé, le produit d'une lettre ou quantité connue, ou inconnue, par une lettre inconnue accompagnée par addition, ou foufstraction d'u- · ne autre lettre ou quantité connue fimple, ou compofee. Par exemple ay+xy, eft un rectangle compofé de a + × ×y; aa ± ay, eft un rectangle compofé a ±y × a j

aaxaxy, eft un rectangle compofé de aa+ay

b

+by+xy, eft compofé de a+b+xx y. Il est ainfi des

autres.

2. Il y a quelquefois quelque changement à faire pour rendre des quantitez complexes femblables aux rectangles compofez dont nous venons de parler. Par exemple aa by, n'eft point le produit d'une quantité fimple par une quantité complexe: car pour cela, il faudroit qu'il y eut un 6 dans le premier terme aa; c'eft pourquoi il faut (art. 5) changer aa en un rectangle dont un côté foit b, comme en bc, & mettant be en la place de aa, l'on aura bc-by=cyxb. Il en eft ainfi des autres.

Il y a des équations, où il n'y a qu'à ôter les feconds termes pour les réduire : il y en a d'autres où il n'y a qu'à changer les produits compofez en des produits fimples, & il y en a d'autres où il y a toutes ces deux chofes à faire. Les exemples fuivans ne laifferont rien à éclaircir fur ce fujet.

3.

EXEMPLES.

De la réduction des Equations en faisant evanouir les

feconds termes.

ON N fçait que la regle de faire évanouir le second ter me d'une équation, eft d'égaler la racine du premier → ou le coefficient du fecond divifé par l'expofant du premier à une nouvelle inconnue, ce qui donne une équation que j'appelle réduction; d'où l'on tire une valeur de l'inconnue qui eft la racine du premier terme de l'équation à réduire ; & fubftituant cette valeur, & celle de fes puiffances dans l'équation à réduire, elle fe change en une autre équation, où l'inconnue dont on vouloit faire évanouir le fecond terme, ne fe trouve plus: mais il fe trouve en fa place la nouvelle inconnue de la réduction, dont le premier terme eft élevé à la même puiffance que celui de l'inconnue que l'on a fait évanouir: mais qui n'en a point de fecond. Ceci eft general pour lés équations de tous les degrez, quoiqu'il ne foit ici que. ftion que des équations du fecond.

EXEMPLE I.

4. So1T l'équation xx

T l'équation xxaxyyby. Il eft clair que cette équation appartient au cercle, puifqu'elle renferme deux quarrez inconnus xx & yy qui ont le même figne + étant tous deux dans un même membre de l'équation: mais les inconnues n'ont point leur origine au centre; car les deux quarrez inconnus xx & yy ont chacun un fecond terme ax & by. Pour faire évanouir le fecond terme

tant cette valeur de x, & celle de fon quarré dans l'équa

I

tion, elle deviendra zz——aa

༢༢ ·aayyby, ou zzest un premier terme qui n'en a point de fecond. Pour faire évanouir le fecond terme by, je le paffe du côté de fon mieryy, afin que yy garde fon figne +; ainsi l'équation

pre

devient