FIG. 75. 7. REMARQUE Il n'y a que la portion de la parabole qui commence en G, & va vers M qui réfout le Problême, puifque & y commencent au point A. CONSTRUCTIO N. Des Equations, ou des lieux à l'Ellipfe. A PROBLEME INDETERMINE. XX. UN triangle ABC étant donné, il faut trouver un point M hors de ce triangle, en forte qu'ayant mené MPF parallele à AB qui rencontre AC en P, & BC en F, le quarré de PM, & le quarré de FP foient enfemble égaux au quarré de AB. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les don nées AC, a; AB, b; & les indéterminées AP,x; PM, y; CP fera ax & les triangles femblables CAB, CPF donneront CA (a). AB ( b ) :: CP ( a −x ́). PF = ab—bx, donc par les qualitez du Problême A AA aayy aabb-zabbx --- bbxx. ✈yy=bb, oũ xx➡ Lax+y=0,qui eft une équation à l'Ellipfe dont le point A qui est l'origine des inconnues x &y, n'eft point le centre, à cause qu'il y a dans l'équation un fecond terme. . Je fais donc pour la réduire x—a—, & l'équation devient par ce moyen z―aa✈+ aayy bb ad ↳ =0, ou ayy = aa-zz, d'où fuit cette conftruction. ༢༢. La réduction x-a=%, montre que le point C eft le centre de l'Ellipfe, puifqu'il n'y a point de réduction pour y ; & l'équation réduite, en faisant yo, donne z=a; ce qui fait voir que va vers A & vers D, & fe termine en ces deux points, & que par consequent AD est un des diametres: ce que le terme connu aa de l'é quation réduite fait auffi connoître : mais parceque le DEMONSTRATION. AYAN I. aayy PROBLEME INDETERMINE. UN triangle ABC dont les côtez AC, BC font pro- FIG. 80. longez vers H&vers G étant donné. Si d'un point quelconque P pris fur la bafe AB,on éleve PEF perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de pofition. Il faut trouver quelle eft la courbe qui divife EF, & fes femblables en M, de maniere que PE. PM :: PM. PF. Ayant fuppofé le Problême réfolu, mené CD parallele à PM, & nommé les données AB,a; AD, b DC, c; DB, d ; & les indéterminées AP, x, PE, Z, PM,y; PF,u; PB fera a-x; & les triangles femblables APE, ADC & BDC, BPF donneront x ( AP). Z (PE) :: b(AD). c (DC), d'où l'on tire bz=cx ; & d(BD). c (DC): a—x (BP). u( PF), d'où l'on tire du= ac- cx:& par les qualitez du Problême, z( PE). y【PM):y (PM) . u ( PF ), d'où l'on tire .u (PF), zu=yy; l'on a donc trois équations, que l'on réduira à une feule, en faisant évanouir & u:( car il ne faut pas faire évanouir x &y; parcequ'elles ont les qualitez requifes par la premiere & huitième observation de l'art. 4 qui font celles qu'il faut le plus exactement suivre dans les Problêmes indéterminez) qui sera ax — xx — bdyy bdyy сс ; ou xx ax + =o, qui eft une équation à l'Ellipfe, que l'on con Сс ftruira en cette forte. Ayant fait x——a=z, l'équation se réduira à 2 bayy се ༢༧. Or à cause de la réduction x- +4 a=x, fi l'on divife AB par le milieu en O, le point O fera le centre de l'Ellipfe, & l'origine des inconnues z qui va vers B & vers A, & se termine en ces deux points ( car fi dans l'équation réduite on fait y➡o, l'on aura <=±÷a) & y qui va parallele à BC. Pour avoir l'expreffion du demi diametre conjugué au diametre AB, on fera bd.cc:: fera (art. 1z no. 11 ) l'expreffion cherchée; prenant donc fur KOZ parallele à DC, OK & OL — aa AACC AC chacune égale à KZ fera le diametre conjugué au 2Vbd diametre AB. L'on décrira l'Ellipse AMBL par l'art. 12 no. 21, ou art. 13 no. 37. DEMONSTRATION. AYAN T mené d'un point quelconque M pris fur l'Ellipfe la droite MP parallele à CD, l'on aura par la proprieté de l'Ellipfe AP × PB,PM :: AB2. KĽ2. Ce qui eft en termes algebriques aa-xx . yy :: aa. REMARQUES. 2. S1 le point B étoit infiniment éloigné du point 4, bdyy сс ment grandes par rapport aux autres lettres; de forte ссх feroitd, & l'on auroit cette équation=yy qui montre que la 3. Si le point B étoit de l'autre côté de A fur le pro longement de AD, dans l'équation ax — xx — bdyy сс a d & x deviendroient negatives, & il faudroit changer les bdyy bdyy CC ou xxax= qui montre que la courbe AMC 24 bey + by+cz, l'équation à réduire devient zz. bbyy 24 444 ac encore y += a, l'on a l'équation b qui eft une équation à l'Ellipfe. Pour la conftruire, foit le point A l'origine des incon- FIG. 1 nues y qui va versH, & x qui va vers G, & qui font l'angle GAH tel que le demande le Problême d'où l'on fuppofe que l'équation que l'on conftruit a été tirée. A cause de la feconde réduction y+”=«, l'on prolongera AC 'AH du côté de A, & l'on fera AI=; & le point / fera l'origine de « qui va toujours vers H, & de x qui qui demeure parallele à AG. A caufe de la premiere ré duction x by puifque Al=, l'on menera KA indéfiniment prolongée & parcequ'il y a encore dans la réduction + : = 2 c, ayant pris fur la ligne IK prolongée KO — — ¢, Pon menera OD parallele à KA, qui rencontrera AH en R, & le point o fera le centre de l'Ellipfe & l'o. rigine des inconnues a qui eft parallele à AH, & zparallele à AG: car ayant mené par quelque point B de la ligne AH, la droite PBCM qui rencontre OR en P, & KA en C: BC fera : car A1.IK 2a. br AB by 24 Mais parceque les coordonnées de l'Ellipfe font OP & PM, en fuppofant l'Ellipfe décrite, l'expreffion de OP doit fe trouver dans l'équation réduite aussi bien que celle de PM qui eft 2. Au contraire celle de IB qui est u ne doit plus s'y rencontrer.Il faut donc trouver une équation qui renferme l'expreffion de IB (u), & celle de OP, afin de faire évanouir z de l'équation réduite, & d'introduire en fa place l'expreffion de OP. Pour ce fujet; ayant prolongé AG en F, & nommé les données น |