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*H AG

l'on aura

nées KL, a; MN,b; & les inconnues x&y;
fuivant les termes de la question a. xx. y, & x. yy.
b, d'où l'on tire ay=xx, & bx=yy, qui font deux équa
tions à la parabole ; & faifant évanouir l'inconnue y, l'on
aura x3 = aab, qui eft une équation du troifiéme degré,
montre que le Problême eft Solide.

Mais parceque deux équations à la parabole étant
combinées par addition ou fouftraction, peuvent toujonrs
donner une équation au cercle, attendu que l'équation
à la parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui
peut toujours être delivré de toute quantité connue ; il
fuit qu'on peut conftruire ce Problême par
le moyen de
l'une des deux équations précedentes, & de l'équation
au cercle qui résulte de la combinaison des deux mêmes
équations par addition, qui eft ay + bx = xx→+ yy:
Et parceque les deux premieres équations ay = xx,
& bx=yy
yy font également fimples, on peut indifferem-
ment fe fervir de celle qu'on voudrą. Prenons donc la
premiere ayxx. Pour la conftruire, foit A l'origine
des inconnues x qui va vers, & y, qui va vers per-
pendiculaire à AG; le même point A fera auffi le fom-
met de l'axe 4G de la parabole qu'il faut décrire, puif
que l'équation ayxx, n'a point befoin de réduction
il n'y a donc qu'à décrire (art. 10. n°. 11 ) fur l'axe AG
une parabole dont le parametre foit la ligne donnée

KL=a.

Pour conftruire prefentement l'équation au cercle foit fait pour la réduire y ———

ay + bx

bx=xxyy ;

I

I

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4,&x- b=<; & l'on aura l'équation réduite

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uu, qui avec les réductions don

ne cette conftruction.

Le point A étant toujours l'origine des inconnues y &

x; à cause de lapremiere réduction y —— a=u,

2

l'on

prendra

prendra AC=—a=KL, & ayant mené CO pa

2

b

rallele à AD ; à cause de la seconde réduction x ——6

=

=z, on prendra sur CO, CE=b MN,

2

2

MN, & le point E fera l'origine des inconnues, qui va vers O,&u, parallele à AG, & le centre du cercle qu'il faut décrire: mais √ aa+ aa+bb, qui eft la racine du terme connu de

4

l'équation réduite, eft le demi diametre du même cercle's c'eft pourquoi fi du centre E par A, on décrit un cercle, il coupera la parabole en un point 2 par ayant mené 2 parallele AH; PQ & PA feront les deux moyennes proportionnelles qu'il falloit trouver.

DEMONSTRATION.

IL eft clair que le cercle coupe AG & AH en 7 & en D, de maniere que AI= 2AC=KL=a, KL=a, & AD= 2CE=MN= b. Ainfi P1= PA-AI=y—a, & PFAD- PQ = b — x. Or AD-PO par la proprieté du cercle AP × PI=PM × PF, ou en termes algebriques, yy — ay=bx— xx, ou yy—bx=ay-xx: mais (art. 10) ay=xx ; donc yy-bx: o, ou yy=bx. Or ay= xx donne AI, ou KL. PQ :: PQ PA, & yy=bx donne PQ. PA::PA. AD, ou MÑ; donc KL, PQ, PA, & MN font continuellement proportionnelles. C. Q. F.D.

EXEMPLE III.

Problême Solide.

FIG. 91.4. UNE courbe AM, dont l'axe eft AP, fon fommet A, & un point D au dedans ou au dehors de cette courbe, étant donnez de pofition fur un Plan. Il faut mener du point D une ligne droite DMC, qui coupe la courbe AM, ou fa tangente au point M à angles droits.

Ayant fuppofé le Problême resolu, foient menées les droites DB & MP perpendiculaires à AC ; du point M la droite ME parallele à AC, qui rencontrera DB en E; & par le point Mla tangente MT. Nommant prefentement les données AB,b; DB,c; & les indéterminées AP, x; PM, y; & PT, t; BP ou ME sera b + x, fi le point B eft hors de la courbe, & DE, c—y.

Langle CMT étant droit par l'Hypotefe, les triangles MPT; CPM & MED feront femblables; c'est pour. quoi l'on aura y ( MP ),t ( PT ) :: x + b (EM). c-y (ED); donc cy—yy=tx+bt, qui eft une équation generale pour toutes les courbes AM, & que l'on détermifubftituant en nera à telle courbe que l'on voudra, en y la place de t, l'expreffion de la foutangente PT.

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Si l'on veut par exemple que la courbe AM foit une parabole; PT fera (art. 11 n°. 6)=2x = t; c'est pourquoi en mettant pour t fa valeur 2x, l'on aura cy— =2xx+2bx, qui eft une équation à l'Ellipfe; & nommant le parametre de la parabole a, l'on aura ( art. 10) ax=yy, qui eft l'équation à la parabole AM.

Si l'on fait évanouir x, l'on aura une équation du troifième degré, qui ne peut être réduite ; & par confequent le Probleme propofé eft folide. Mais lorfqu'on a une équation à la Parabole, & une à l'Ellipfe, ou à l'Hyperbole par rapport à fes diametres où les inconnues ne fe multiplient point, on peut toujours par leur moyen trouver une équation au cercle en cette forte.

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Aprés avoir délivré dans l'équation à l'Ellipfe, ou à l'Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'eft point quarrée dans l'équation à la parabole, de toute quantité connue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en refulterà fera une équation à la parabole, qui étant combinée avec la premiere par addition, ou fouftraction, donnera une équation au cercle. Ainfi en divifant par 2 l'équation précedente cy―yy— 2xx+2bx, l'on a — cy—-yy=xx+bx, & mettant pour yy fa valeur ax, prise dans l'équation à la parabole, ax=yy; l'on aura cy—— ax=xx + bx, qui est.

2

I

2

2

2

une autre équation à la parabole ; & en combinant par addition ces deux équations à la parabole, l'on aura

I

I

=== cy — — ax+ ax = xx+bx+yy, ou

ax = xx + bx + yy, ou cy→ ax=

2

xx+bx+yy, qui est une équation au cercle.

Quoique l'on pût conftruire le Problême par le moyen de l'équation au cercle, & de la feconde équation à la parabole; il est neanmoins à propos de fe fervir de la premiere ax=yy, parcequ'elle appartient à la parabolę donnée AM qui fe trouve toute conftruite; c'eft pourquoi il ne refte qu'à conftruire l'équation au cercle, afin que le Problême foit entierement résolu.

L'équation au cercle étant réduite, donne avec les réductions, cette construction.

Ayant pris AF =

on menera FG pa

rallele BD & =c, & du centre G par A, l'on dé-' crira un cercle qui coupera la parabole au point cherché M.

DEMONSTRATION,

AYANT joint GA, & mené GI parallele à AP, qui' rencontrera PM en H, & la circonference du cercle

en I, l'on aura par la proprieté du cercle, GA ou Gľ GH2=HM2, ou en termes algebriques bb

7

I

ab + 1/6 aa+ cc — xx — bx — — bb →
bb + =—=— a

16

ax

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abaayy—cy+cc, qui fe réduit à

xx + bx

16

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I

16

— ax=cy-yy. L'on a auffi par la proprieté de la parabole ax =yy, qui étant combinée par addition avec l'équation précedente donne xx + bx

I

ax

cy, ou 1xx+2bx=cy—yy ( en mettant pour ax fa valeur yy, en multipliant par 2 & tranfpofant) qui est l'équation que l'on a conftruite. C. Q. F.D.

EXEMPLE ·V.

Problême Solide.

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dont

FIG. 92. 5. Iz faut décrire un triangle CBD rectangle en B, on connoit le plus grand ED des deux fegmens de la bafe faits par la perpendiculaire BE, qui tombe de l'angle droit В fur la bafe CD, & la difference DF des côtez.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les données ED, a; DF, b; & les inconnues EC, x; CB, ou BF,y; CD fera x+a; & BD, y+b; l'on aura à cause des triangles rectangles CEB, BED, CB2 DE', & en termes algebriques yy +2by+bb→ aa, ou xxaa 2by bb, qui eft une équation à la parabole.

DB2

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CE2

xx=yy

A caufe des triangles femblables DCB, BCE, l'on aura a + x (DC). y (CB) ::y. x (CE); donc yyax + xx, qui eft une équation à l'Hyperbole équilatere.

Si l'on fait prefentement évanouir l'une des deux inconnues, on aura une équation du qu atriémedegré, qui ne pouvant être réduite à une équation du fecond, montre que le Problême eft folide.

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