Problème deter miné.

2. Les Problèmes font d'autres propofitions qui demandent que l'on faffe quelqu'operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite, fatisfait à la ftion. Ce qui s'appelle refoudre le Problême.

que

Il y a des Problêmes déterminez, & d'autres indéter

minez.

3. Les Problêmes déterminez font ceux qui n'ont qu'une feule folution, ou qu'un nombre déterminé de solutions. Si l'on propofe, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Problême ne peut peut avoir qu'une feule folution; mais fi FIG. 1. l'on propofe de couper une ligne donnée AB en un point C, en forte que le rectangle AC CB foit égal au quarré d'une autre ligne donnée E F; il eft clair que que ce Problême peut avoir deux folutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage: car fi aprés avoir trouvé le point C qui fatisfait à la question, on la coupe encore en un autre point D qui soit autant éloigné de A que C l'eft de B, le rectangle AD× DB fera égal au rectangle AC CB puifque AD=CB, & AC=DB. Ileft aifé de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puiffe fatisfaire au Problême.

Les Problêmes indéterminez font ceux qui ont une

Antoblêm infinité de folutions: comme fi l'on propofe de divifer

pro

une ligne donnée en deux parties fans y admettre aucune autre condition, il eft évident que tous les points de cette ligne fatisfont au Problême. De même fi l'on pofe de trouver deux lignes dont le rapport foit égal à celui de deux autres lignes données; l'on voit évidemment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prifes d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toûjours entr'elles le même rapport. Semblablement FIG. 2. 5. Si l'on demande de trouver un point B fur la circonference d'un demi cercle ABC, en forte que la perpenculaire B ́7, menée du point cherché B fur le diametre AC foit moyenne proportionnelle entre les parties AH &HC du diametre AC.On fçait que tous les points de la

circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes les perpendiculaires, comme BH font moyennes proportionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on prenne le point B.

6. L LE

DEFINITION.

E s lignes droites ou courbes qui renferment, ou ce que c'est que für lefquelles font tous les points qui refolvent un Pro-Lien geometrique blême indéterminé,font appellez lieux Geometriques. Ain.

fi la demi circonference ABC eft le lieu qui contient tous les points B, d'où l'on peut tirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH, & HC. AVERTISSEMENT.

7. Quoique l'on fe propofe ici de donner la maniere de démontrer les Theoremes de Geometrie par le moyen de l'Algebre; il ne faut pas entendre cela fi generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez: car il y en a d'Elementaires où l'Algebre n'a point de prife. On ne peut, par exemple, démontrer par l'Algebre que le quarré de l'hypothenufe d'un triangle rectangle est égal aux deux quarrez des deux autres côtez, ni que les cotez homologues des triangles femblables font proportionnels. Il en eft de mème de plufieurs autres ; & c'est particulierement de ces deux Theorèmes que l' Algebre a befoin, &par le moyen defquels on vient à bout de tout, comme on verra dans toute l'étendue de cet Ouvrage. Soit qu'il s'agiffe de refoudre un Probleme, ou de dénombrer un Theorème de Geo- demontrer metrie par le moyen de l'Algebre, il est toujours neceffaire de trouver des équations & pour ce fujet il faut nommer toutes les lignes connues, & inconnues qui y peuvent fervir, par des lettres de l' Alphabet, avec cette difference que l'on nommera les données ou connues, ou déterminées, ou conftantes par les premieres a, b, c,d, &c. & les inconnues ou indeterminées,ouvariables par les dernieres, r,f,t, u, x, y, z.

Et parcequ'il y a fouvent plufieurs chemins pour trouver les équations neceffaires pour la démonftration d'un Theoreme, ou pour la refolution d'un Probleme, on pourroit prendre celui qui

fe prefenteroit le premier s'ils conduifoient tous à des équations également fimples, & d'où l'on put tirer des conftructions également elegantes: mais comme l'on arrive quelquefois à des équations tres compofees,en fuivant certaines routes, & que l'on arriveroit à de tres-fimples en en fuivant d'autres ; il s'enfuit que lorfqu'on ne trouve pas les premieres équations aufquelles on eft parvenu par les premieres fuppofitions, tees fimples, il en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne fe point rebuter ; car lorfqu'un Probleme eft fimple de fa nature, on trouve ordinairement des équations fimples pour le refoudre : mais parceque pour trouver des équations fimples, cela dépend particulierement des lignes que l'on nomme par des lettres inconnues, c'est-à-dire, qu'en nommant certaines lignes par des lettres inconnues, on arrive à des équations tres-compofées, au lieu qu'en en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive fou-. vent à des équations tres-fimples.

8. On ne peut donner de regles précises pour déterminer parmi les lignes inconnues celles que l'on doit nommer par des lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus fimples, ni pour tirer certaines lignes qui font neceffaires tant pour la démonftration des Theoremes, que pour la refolution des Problèmes mais l'on peut faire certaines remarques, & établir certains principes qui ne laissent pas d'avoir un grand ufage dans P'un & l'autre cas. Onles trouvera ailleurs, a Num: && deinceps.

pag:22. art.4. PRINCIPES GENERAUX

Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie.

II.

L ORSQU'IL S'agit de refoudre un Problême, ou de démontrer un Theorême de Geometrie, on doit premierement bien entendre ce dont il s'agit, c'està-dire l'état de la question, & bien remarquer les qualitez des lignes qui doivent former la figure fur laquelle on doit operer: car il y a des lignes données de pofition feulement ; d'autres données de grandeur, & de pofition tout ensemble; d'autres données de grandeur, & non de pofition; & d'autres enfin qui ne font données ni de grandeur ni de position,

1. Les lignes données de pofition feulement, font celles dont la fituation eft invariable & toûjours la même, mais dont la longueur n'eft point déterminée : comme la ligne EFG, qui étant une fois pofée dans une fituation perpendiculaire au prolongement du diametre AC d'un demi cercle ABC, à une certaine distance du point C, ne peut avoir aucune autre position.

Les lignes données de grandeur & de pofition tout enfemble, font celles qui ne peuvent changer de fituation, & dont la longueur eft déterminée, de forte qu'elles ne peuvent ni alonger ni acourcir: comme le diametre AC du demi cercle ABC, qui étant une fois posé dans une fituation perpendiculaire à la ligne FG, ne peut avoir au cune autre pofition.

Les lignes données de grandeur, & qui ne le font point de pofition, font celles dont la grandeur ne peut varier quoique leur fituation puiffe changer, comme le demi diametre DB, qui demeure toûjours de même grandeur en quelqu'endroit de la circonference ABC que l'on prenne le point B. Les lignes données de grandeur font auffi appellées lignes connues ou lignes conftantes, & & on les nomme par des lettres connues, a, b, c, d, &c.

Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de pofition, font celles qui en changeant de places, changent auffi de grandeur, comme la perpendiculaire BH qui changera de grandeur & de place autant de fois que le point H s'éloignera ou s'approchera du point D. Les lignes qui ne font données ni de grandeur ni de position, font auffi appellées lignes inconnues, indéterminées, ou variables, & on les nomme par des lettres inconnues X, Y, Z, &.c.

2. Lorfqu'on veut refoudre un Problême, on le doit confiderer comme déja refolu, & ayant mené les lignes que l'on juge neceffaires, l'on nommera celles qui font connues par des lettres connues, & celles qui font inconnues par des lettres inconnues,& fans faire de diftinction entre les quantitez connues & inconnues,on exami

Fid.2.

il

nera les qualitez de la queftion, & l'on cherchera le moyen d'exprimer une même quantité en deux manieres differentes;& ces deux expreffions d'une même quan tité étant égalées l'une à l'autre, donneront une équation qui refoudra le Problême, qui fera déterminé, fi elle ne renferme qu'une feule lettre inconnue. un Problème Mais fi elle renferme plufieurs lettres inconnues, peule deer, faut tâcher par le moyen des differentes conditions du mine, quoique Problême de trouver autant d'équations que l'on aura fon equation employé de lettres inconnues, afin que les faifant évarenferme 2 on nouir, 2 ou nouir, de la maniere qu'il eft enfeigné dans tous les livres plufieurs in, d'Algebre, l'on ait enfin une équation qui n'en renferme qu'une feule; cette équation étant reduite, s'il eft neceffaire, à fes plus fimples termes par les manieres ordinaires expliquées dans les mêmes livres d'Algebre, donnera la folution du Problême qui fera encore déterminé.

connues.

Si l'on ne peut trouver autant d'équations que l'on a employe de lettres inconnues, de forte qu'il reste au moins deux inconnues dans la derniere équation, le Probleme fera indeterminé, & aura une infinité de folutions. Enfin, fi dans la derniere équation il reftoit trois ou un plus grand nombre de lettres inconnues, le Problême feroit encore indeterminé, mais il feroit d'une autre espece dont nous ne parlerons point.

Il est fouvent facile de reconnoître par les qualitez d'un Problême, s'il eft déterminé ou indetermine; auquel cas on fçait, fi ayant employé deux inconnues, on doit trouver deux équations, ou fi l'on n'en doit trouver qu'une feule: mais il arrive auffi quelquefois que cela n'eft pas fi facile à diftinguer, & c'est en ce cas qu'il faut tacher de trouver autant d'équations qu'on a employé d'inconnues, afin de déterminer par ce moyen la qualité du Problême.

On n'explique point plus au long ce principe; car tout ce Traité n'en eft que l'application. On fe contentera de faire ici quelques reflexions fur les équations qui ne contiennent qu'une feule, ou deux lettres inconnues,

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