PROPOSITION III. 4. SOIENT deux cercles AFB, ALI égaux ou inégaux, FIG. 108. Si l'on fuppofe prefentement que le cercle AFB roule demi Roulette. Pour trouver une équation qui renferme quelque proprieté de cette courbe, fuppofons que le demi cercle mobile AFB, foit parvenu en roulant dans la fituation KLP dont le centre foit O, le point D fera alors en M, qui eft un des points de la courbe, & le point B fera en P. Ayant décrit du centre C par D le demi cercle DGE, du centre H par M l'arc MĠ, qui rencontrera la demi circonference DGE en G, l'on menera du centre H du cercle immobile ALI, les droites HM, qui coupera en I le cercle ALI, HLO qui paffera par le point touchant L, & HG qui coupera l'arc ALI en R, & du centre C du demi cercle mobile AFB, la droiteCG qui coupera AFB en F. Il eft clair que les triangles HCG, HOM font égaux, & équiangles: car HC HO, HG= HM, & CG= OM: c'eft pourquoi les angles CHG,OHM feront égaux, & partant l'arc RI= l'arc AL= (Hyp.) l'arc ZK= (à caufe de l'angle HOM HCG) l'arc FB. = Nommant donc les données CB, ou CF, ou LO, &c. a; BD, ou MP, ou AE,b; HA, ou HI, &c, c; l'arc DG, x; l'arc MG, y; & l'appliquée HM, z; CD fera, a+b; & les fecteurs femblables CDG, CBF, donneront CD (a+b). CB ( a ) :: DG ( x ). BF= Ax RI; & à caufe des fecteurs femblables HMG, HIR, l'on a z(HM).c(HI) :: y (HG) . tire cy: L cy = ou acy +bcy=axk. COROLLAIRE I 5. It eft clair que lorsque le point B, ou P touchera le cercle ALI en un point T, Parc ALT fera égal à la demi circonference AFB, & le point décrivant D ou M fera fur le rayon HT en S, de forte que STBD. COROLLAIRE II. 6. Si le point décrivant D étoit entre C & B, le cercle DGE feroit interieur au cercle AFB, & lorfque le point B, ou P feroit parvenu en 7, le point décrivant D, ou M, ou, ce qui eft la même chofe, le point S de la Courbe feroit fur le rayon HT prolongé au-delà de 7 de la loņgueur de BD, & l'équation précedente deviendroit acy bcy = axz: car BD=b deviendroit négative de pofitive qu'on l'a fuppofée. COROLLAIRE III. 7. Si le point Détoit en B, ou ce qui eft la même chose, fi B devenoit le point décrivant, le cercle DGE fe confondroit avec le cercle AFB, & le point S de la Courbe tomberoit en 7, ou le point B toucheroit le cercle ALI; & en ce cas DB b devenant nulle, ou 0, l'équation deviendroit = COROLLAIRE IV. 8. Si l'on fuppofe que le point H s'éloigne infiniment de A dans la ligne AB, le cercle ALI deviendra une ligne droite perpendiculaire fur AB au point A; l'arc GM, une autre droite parallele à ALI; & les rayons AH & MH, deviendront infinis, & par confequent paralleles & égaux ; c'eft pourquoi e fera égale à z, & l'équation précedente (no. 4) fe changera en celle-ci ay+by=ax, en la divifant par les quantitez égales c &z, & faifant de nouveau les mêmes raisonnemens que l'on vient de faire dans les trois premiers Corollaires, l'équation du fecond deviendra ay-by=ax ; celle du troifiéme deviendra y=x. La Courbe DMS, eft en ce cas nommée, demi Cycloïde ou demi Roulette à Bafe droite. I COROLLAIRE V. 9. Si le cercle AFB au lieu de rouler, gliffoit fur la ligne AL droite, ou circulaire, en forte que le point touchant A parcourût d'un mouvement uniforme la ligne ALT AFB, pendant que le point décrivant D par. coureroit auffi d'un mouvement uniforme la demi circonference DGE >,<; ou= AFB, & en lui demeurant concentrique. Il est clair que la demi roulette décrite par ces mouvemens, feroit la même que file cercle AF rouloit fur la ligne ALT. COROLLAIRE VI. fo. MA 1 s fi le point décrivant D employe plus de temps à parcourir uniformement la demi circonference DGE, que le point touchant A n'en employe à parcourir auffi uniformement ALT=AFB, la demi roulette fera nommée Alongée. Si au contraire le point D employe moins de temps à parcourir DGE, que le point A n'en employe à parcourir ALT=AFB; la demi roulette fera nommée Accourrcie. COROLLAIRE VII. I 11. Si le point touchant A, & le point décrivant D se mouvoient avec des viteffes qui fuffent telles que les puiffances m des parties parcourues par le point A fur AL, & les puiflances n des parties parcourues dans des temps égaux par le point D fur la demi circonference DEG, <,ou= AFB, gardaffent entr'elles un raport conftant, l'on pourroit avoir par ces mouvemens non feulement toutes les roulettes dont on vient de parler: mais encore, une infinité d'autres de differens genres. 12. REMARQUE, LES ES Roulettes & bases droites, font toutes méchani ques car une ligne droite se pouvant entendre à l'infini, le cercle mobile AFB, pourra faire une infinité de tours, ou gliffer fur cette ligne infinie AL pendant que le point décrivant D,parcourera une infinité de fois la circonference du cercle confentrique DGE: mais la roulette décrite par le point D rencontrera à chaque tour, ou la ligne AL, ou une autre qui lui fera parallele; c'eft pourquoi la ligne AL prolongée à l'infini, ou fa parallele, rencontrera en une infinité de points la Roulette DMS qui fera par confequent méchanique. Mais les Roulettes à bafes circulaires, ne font pas de même: car lorfque les diametres du cercle immobile ALT, & du mobile ABF feront entr'eux, comme nombre à nombre, leurs circonferences feront auffi comme nombre à nombre; c'eft pourquoi le point décrivant D, retombera au même point S aprés une ou plufieurs révolutions, & fi le cercle mobile continue de rouler, ou de gliffer aprés ce tour au point S, le point D recommencera à décrire la même Roulette & partant un rayon HM tiré du centre H, la rencontrera en un certain nombre déterminé de points, alors la Roulette fera geometrique, & l'on pourra trouver une équation qui fervira à en déterminer tous les points geometriquement, comme on pourra voir dans un livre que Monfieur Nicole va donner au public fur toutes les efpeces de Roulettes, où il en expliquera tres-fçavament toutes les proprietez. Mais lorsque les diametres du cercle mobile, & du cercle immobile feront incommenfurables, le point décrivant ne retombera jamais dans un même point; & en faifant une infinité de tours autour du cercle immobile, il décrira une infinité de Roulettes qui ne feront neanmoins qu'une même Courbe ; & partant un rayon tiré du cen tre tre du cercle immobile rencontrera cetteCourbe en une infinité de points, & elle fera par confequent méchanique, L PROPOSITION IV. A PROBLEME. 13. Il faut décrire la courbe BM dont l'axe eft AP ; une ap- FIG. 109. pliquée PM, & dont une des proprietez eft que la foutangente PT est toujours égale à une ligne donnée KL. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & mené l'appliquée pm infiniment proche de PM; la ligne MmT, menée par les points M, m infiniment proches, fera une tangente: car la courbe BM, étant regardée comme un polygone d'une infinité de côtez, Mm fera un de ces côtez. Or il eft clair que fi la courbe BM eft toujours convexe d'un même côté, le petit côté Mm étant prolongé, ne la coupera point, & le prolongement MT fera par confequent une tangente. Ayant mené mR parallele à AP, RM sera la difference des deux appliquées infiniment proches PM & pm; c'est pourquoi on lui donnera le même nom qu'àPM, précedé de la lettre d, qui fignfiera difference, & l'on n'employera point dans la fuite la lettre d'à d'autres ufages. Ainfi nommant l'appliquée PM, y; RM fera dy, c'eft-à-dire, difference dey; de forte que la lettre dne fait que caracteri. fery, & n'eft l'expreffion d'aucune quantité: mais parce qu'il n'y a aucun point fixe fur AP,pour pouvoir nommer l'intervale qui fe trouveroit entre ce point fixe, & le point P par une autre inconnue, x; on fe contentera de nommer Pp, ou Rm, dx; on nommera auffi la donnée KL, ou (Hyp.) PT, a: or le petit triangle MRm étant regardé comme rectiligne à caufe de l'infinie petiteffe du petit côté Mm, fera femblable au triangle MPT; c'est pourquoi l'on aura dy (MR). dx (Rm) :: y (MP). a (PT), d'où l'on tire ydx=ady, qui est une équation differentielle. 14. Pour conftruire les courbes qui ont de telles équaHh |