n Pour exprimer Vaa—bb; ayant trouvé, comme on vient de faire DE=√ aa—bb, & l'ayant nommée; c, mc l'on aura au lieu de TM Vaa—bb, & l'on trouvera n mc FIG. 3. ( n°. I. ) DE=, faifant AB=n,BC=m,&AD=c. n 3. Pour exprimer geometriquement Vaa+bb. Puif que aa+bb eft la fomme de deux quarrez, il est clair que FIG. II. fi l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses côtez AB étant nommé a, & l'autre BCb; l'hypothenule AC fera-Vaa+bb. Il ne feroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la fomme de plufieurs quarrez, comme Vaa+bb+cc, &c. Pour exprimer geometriquement Vaa-bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit un triangle rectangle dont l'hypotenuse foit a racine du quarré pofitif, & un des côtez=b racine = du quarré négatif, l'autre côté fera =Vaa-bb. Ce qui FIG. 12. fe fait en cette forte; foit décrit fur le diametre AB=a, le demi cercle ACB, & foit infcrit dans le demi cercle la ligne AC=b, & mené CB; l'angle ACB, étant droit FIG. 13. à caufe du demi cercle; CB fera=Vaa-bb. La même à HC,& mené le rayon CF; GF ou CD sera=√aa—bb;. II aa➡ bb — cd dont 4. Il y a des quantitez Algebriques plus compofées que celles dont on vient de parler (n°. 1, 2, 3 ; ) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'aprés y avoir fait certains changemens. Or ces changemens confiftent particulierement à mettre l'expreffion Algebrique d'un quarré en la place de l'expreffion Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expreffion Algebrique d'un rectangle dont un côté foit donné en la place d'un autre rectangle, ou d'un quarré. Ainsi pour exprimer geometriquement cette quantité fractionnaire le numerateur n'eft point le produit de deux quantitez que l'on puiffe feparer par la divifion; & qui ne peut par confequent être réduite en analogie; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté foit a, & le rectangle Algebrique cd, en un au afin tre rectangle Algebrique, dont un côté soit aussi a, que la lettre a fe trouve dans tous les termes. Soit pour ce fujet x, le côté du rectangle qui doit être égal à bb, dont l'autre côté eft la ligne donnée, exprimée par a; l'on aura, felon les termes de la question, ax=bb; donc ; ayant donc (no. 1) exprimé geometriquement x= b b bb a & l'ayant nommée ƒ ; l'on aura ƒ=x; & partant afbb. Soit femblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté eft la même don née a ; l'on aura ay=cd; donc y: = d : & ayant nom cd trouvée (no. 1); l'on aura ag a =cd; la quantité précedente fera donc changée en még l'expreffion de aa af ag celle-ci, leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui est facile à exprimer; puifqu'on la peut à prefent réduire E aa+af-48. On en l'analogie suivante b.a::a+f-g. b auroit pû changer le quarré aa, & le rectangle cd, au lieu que l'on a change bb, & cd. 5. Pour exprimer la quantité Vaa-be, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté foit 6 ou ; ou bien le rectangle br en un autre, dont un côté foit a; & on en aura enfuite facilement l'expreffion geometrique (no. 2). Il en eft ainfi des autres. 6. Les manieres dont nous venons de nous fervir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques font generales: on les peut fouvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de pofition, ou en décrivant quelques cercles, felon que l'indique la figure de chaque Problême que l'on conftruit: mais comme ces manieres font particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut réfoudre & conftruire les Problêmes le plus élégamment qu'il lui eft poffible. On les trouvera pratiquées dans plufieurs exemples. CONSTRUCTION Des Equations déterminées du premier degré, de celles du fecond qui n'ont point de fecond terme. 7. O N voit clairement que les expreffions geometriques des quantitez Algebriques, donnent auffi la réfolution des équations du premier degré, & de celles du fecond, qui n'ont point. de fecond terme; car fi ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues, leur valeur feroit déterminée par ces expressions. Par exemple, pour conftruire cette équation xx—aa— bc, d'où l'on tirex=±√aa—bc, il n'y a qu'à exprimer Vaa-bc, comme on vient de faire ; & l'expreffion prise de part & d'autre, de l'origine de x sera sa valeur pofitive, & negative. Il en eft ainfi des autres. CONSTRUCTION Des Equations du fecond degré, qui ont un fecond terme. VI. Es Equations du second degré qui ont un fecond terme fe peuvent toutes réduire à quel qu'une des quatre formules fuivantes. 4. xx=-ax-bb, dont les racines font, CONSTRUCTION de la premiere & feconde Formule. 1. Pour la premiere & la feconde Formule. Soit dans la figure fur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFIG. 14. tion que l'on veut conftruire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB perpendiculaire à AH, &=b racine du dernier quarrẻ bb; on prendra AC (Fig. 14.) =—a du côté de H, par rap I port à A pour la premiere formule où il y a +÷a; & de l'autre côté de H (Fig. 15) pour la feconde formule, où il y a—a ; & du centre C l'on décrira par B, le cercle DBE, qui coupera AH en E, & en D. Je dis que AE fera la valeur pofitive de x, & AD fa valeur nega tive. DE'MONSTRATION. I PUISQUE AC= a, & AB = b;CB=CE sera - √2aa+bb; & par consequent x = AE=± = a+ √±aabb. C. Q. F.D. On prouvera de même que AD, eft la valeur negative de x qui doit être prife de l'autre côté de A par rapport à H. CONSTRUCTION de la troifiéme & quatrième Formule. FIG. 13. 1. SOIT A le commencement de x qui va vers P. & 16. Ayant pris AC du côté de P, par rapport à A pour la I troisième Formule, où il y a + a (Fig. 13.); & de l'autre côté de P fur le prolongement deДP pour la qua |