Imágenes de páginas
PDF
EPUB

aura les deux qui fuivent, N.

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors][ocr errors][merged small][merged small]

• y1+py+q=r; d'où faisant évanouir l'inconnue s, ôtant les fractions, & retranchant ce qui doit être retranché, l'on aura P. y+2py* → Pfyy―qq=0,qui est

4ryy

l'équation transformée, & qui fe rapporte au troifiéme degré, & remettant à prefent dans l'équation P, en la place de p, q, p, q, & r leurs valeurs, l'on aura,

6

Q.y° + aay+ + b + yy — a°

--

2 bby + - azy

[ocr errors]
[blocks in formation]

Si l'on tente prefentement toutes les divifions de cette équation par les binomes qu'on peut former par le quarré de l'inconnue y, c'eft-à-dire, par yy, (car il n'eft point ici neceffaire de les tenter par aucun autre); & par quelqu'un des divifeurs Plans du dernier terme, l'on trouvera qu'elle fe peut divifer par celui-ci.

R.

yyaa bb=o; & le quotient sera,

S. y1 2aayy + a +

-bbyy + aabb

qui eft une équation du fecond degré; & qui par confequent fait connoitre que le Problême eft Plan.

Si on veut le réfoudre fans chercher une autre équation du fecond degré: Voici la méthode qu'on doit fuivre.

[merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small]

tire T. —————. Il ne s'agit plus que de cher

[merged small][ocr errors][ocr errors]

cher une valeur semblable de t; ce qui fe fait en cette forte. L'équation I donne t =

mettant donc cette valeur det dans les deux équations G & H, l'on au r—Syy —ss = ps, & ry — ssy = qf : & faisant

[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors]

➡pf, d'où l'on tire f=

[ocr errors]

y1+py—qi & cette valeur de s, fubftituée dans l'équation 7, donne aprés avoir ôté les

[ocr errors]

fractions, & ce qu'il y a à ôter, V.t= 2y Si l'on met prefentement dans les deux équations C & D, en la place de f; & de t leurs valeurs prifes dans les deux équations T, &, l'on aura les deux fuivantes.

[subsumed][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors]

X. K¬K+—9+÷p+3=0,&

I

[ocr errors]

√aa

[ocr errors]

Mais l'équation R, donne yyaa + bb, & y =

aa + bb. ; l'on a auffi p= —

[ocr errors]

aa - bb, & q = a}

leurs va

abb; fubftituant donc dans les deux équations X & y en la place de y, de yy, dep, & de q, leurs ; l'on aura aprés les réductions ordinaires,

[ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small]

I

aa+±a√aa+bb, dont

z = = √aa + bb ± √ — — aa+bb——— a √aa + bb, &

[ocr errors]

4

"aa+bb ±√ — — aa + "bb+_a √aa +bb.Mais

pour ôter le fecond terme de l'équation A, l'on a fair

EIG. 31.

2

<=x-a; c'est pourquoi en mettant dans les deux dernieres équations, en la place de z, fa valeur x

-a; l'on aura les deux qui fuivent,

x = a+V=_aa+bb±√——_aa+¦bb___a√aa+bb. x=—a—√——aa+bb±√——_aa+bb+__a√aa+bb,

4

2

4

dont la construction résout le Problême.

Il faut demeurer d'accord que cette méthode de M Descartes, de reconnoitre la nature d'un Problême dont l'équation eft du quatrième degré, & de tirer de cette équation du quatrième degré, deux équations du fecond, quand le Problême eft Plan, eft parfaitement belle, & digne de fon genie, c'eft pourquoi j'ai jugé à propos de la mettre ici tout au long; parceque je ne l'ai vûe nulle part entierement expliquée. Il eft neanmoins à propos, comme on a déja remarqué, après avoir reconnu qu'un Problême dont l'équation est du quatriéme degré eft Plan, de chercher par d'autres voyes une équation du fecond degré; parceque la constru ation du Problème en devient plus fimple, comme on va voir par cet exemple.

15. Les mêmes chofes que dans l'énoncé du Problême, étant fuppofées, on prolongera BC vers G, l'on menera EG perpendiculaire à FE, qui rencontrera CG en G, & l'on abaiffera du point E fur CG la perpendiculaire EH : ce qui formera les triangles semblables CBF, CEG, CHE, & EHG: & outre cela les triangles CBF, EHG égaux, puifque BC=EH; c'est pourquoi ayant nommé les données AB ou AD, a; KLou FE,b; & les inconnues CG, x; CE,y; BG fera,a+xi & FC ou EG by ; les triangles femblables CBF, CEG, donneront a (CB). by (CF) y (CE). x ( CG ); donc ax-by-y; & le triangle rectangle CEG donnera CGxx=bb — zby + zyy=CE + EG2, ou

[blocks in formation]

aa+bb,

[ocr errors][merged small]

l'on tire x = a + √ aa + bb, qui donne cette conftruction.

Soit prolongée CD en 1, en forte que CI=KL; décrit du centre B par 1, le cercle IG, qui coupera BC prolongée en G; & fur le diametre CG, le demi cercle CEG, qui coupera AD prolongée E &e, ou la touchera en un feul point E, fi le Problême eft poffible, c'està-dire, fi KZ furpaffe ou égale le double de la diagona. le du quarré AC. Je dis que la ligne FE, ou ef KL ; & que par confequent le Problême eft réfolu.

DEMONSTRATION.

=

A Caufe des triangles femblables CBF, CEG.CB. CFCE. CG;donc CB× CGCF x CE. Et à cause du cercle IG dont le centre eft B; CI BG2 — BC2— 2BC x CGCG22CF CE+CE+ EG 2 ou CF 2 donc CI FE2; donc CI=FE KL.

=

FE2;

C. Q. F. D.

[ocr errors]

On démontrera de même que ef=KL.

[blocks in formation]

16. LA fomme AB des deux côtez AE, EI d'un triangle F16. 322 AEI, Pangle AEI que doivent former les deux côtez AE, EI; &la perpendiculaire EG menée de cet angle fur la bafe AI étant donnez, décrire le triangle AEI.

=

Ayant supposé le Problème résolu, foit prolongée AE en B, en forte que EB EI, & menée par A la ligne AD parallele à EI, & égale à AB; la ligne menée par les points B & I, rencontrera AD en D: car BE=EI, &BA=AD. Soit faite AK perpendiculaire à BD, qui fera divifée par le milieu en K, puifque le triangle BAD eft ifofcele. Ayant enfin mene BH perpendiculaire à AI prolongée, & nommé les données KB, ou KD, C3 la perpendiculaire EG, b; AK,d; & les inconnues AI,

[ocr errors]

x; KI, ≈ ; BH, u BI fera c-x, & ID, c + x. Les triangles femblables IAK, IBH donneront z (IA). d ( AK) :: c — x (IB).u (BH); donc = eddx. Et les triangles femblables HBA, GEA, & BEI,

་་

u

BAD donnent, u( HB).b(GE) :: BA : EA :: 2c ( BD)

c+x (ID). d'où l'on tire =

2bc

2bc
+x

donc ¿ cd- dx ou 2bcz = ccd — dxx : mais le triangle rectan

2bex

gle AKI, donne xx=2— dd; c'eft pourquoi en mettant cette valeur de xx,dans l'équation précedente,l'on en tire ༢༢.== +cc+dd: Mais en nommant AB,4; l'on a, à cause du triangle rectangle AKB, aa—cc+dd3 mettant donc dans l'équation en la place de cc + dd fa valeur aa, l'on a celle-cizz=

tire z=—

ction.

[ocr errors][ocr errors]

2bcz
d.

aa, d'où l'on

[blocks in formation]

Soit prife AFGE, & menée FL parallele à KB; foit prolongée KA en C, en forte que AC=FL; & ayant mené AM parallele à KB, & égale à AB, l'on décrira du centre C par M, le cercle MN, qui coupera AK prolongée en N; & du centre A par N, l'on décrira le cercle NIO qui coupera KB, en Is & ayant joint AI, l'on menera IE parallele à DA, qui formera le triangle AIE, qu'il falloit décrire.

L

DE'MONSTRATION.

I 1 eft clair que AE+ EI= AB, que l'angle AEI, eft tel qu'on le fouhaite, & que ANAI. A cause de FL (conft.) parallele à KB, l'on a AK (d). KB (c)

bc

1: AF, ou GE ( b ). FL (conft.) AC, FL=~=

& par

tant

« AnteriorContinuar »