2bcz

b tant CN+; & par la proprieté du cercle, CN2— CA 1 — AM2 — AB 2; ce qui eft en termes Algebriques abcZ+zz=aa, ou « = — ༢༢ quation que l'on a conftruite; d'où il fuit que la conftruction précedente réfout le Problême. C. Q. F.D.

d

+aa qui eft l'é

J'ai copié ce Problême dans le Traité des lieux Geometriques de M de la Hire, parcequ'il ouvre le chemin à la résolution de plufieurs Problêmes femblables, comme eft celui qui fuit: j'y ai ajouté la conftruction, & la démonstration que cet Auteur n'avoit pas donnée.

A

PROBLEME PLAN.

17. DE' CRIRE un triangle AEI, dont on connoit la F10.31 Somme des côtez AE÷EI=AB, la bafe AI, & dont Pangle AEI, foit égal à un angle donné.

En fuppofant la préparation précedente, & nommant les données AK, d; AI,b; & l'inconnue KI,x; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle AKI, xx=

bb — dd ;

ction.

·dd; donc x = √bb-dd, qui donne cette constru

Soit du centre A & du rayon AI, décrit le cercle OIN qui coupera KB au point cherché I; ce qui n'a pas befoin de démonftration.

PROBLEME PLAN.

18. UN rectangle ABCD étant donné, il faut décrire un F 1 G. 33. autre rectangle EHGF; dont les côtez foient également éloignez de ceux du rectangle ABCD, & que le rectangle ABCD, foit au petit EHGF dans la raifon donnée de m

à n.

Ayant fuppofé le Problême réfolu,& nommé les don

H

nées AD, ou BC, a ; AB, ou DC, b; & l'inconnue AL, ou LE, x; EF fera, a-2x, & EH, b-2x. L'on aura par les qualitez du Problême, ab. ab 2ax-26x+4xx::m. n. donc mab 2max 2mbx + 4mxx=nab,d'où l'on tire xx——ax+÷bx+ Ce qui fournit cette construction.

2

2

nab

4m

mab

Soit prise A1==a+b, & décrit fur le diametre AI, le demi cercle API. Et ayant élevé au

centre K, la perpendiculaire KP, pris KO=√

nab. mab

& mené par o la ligne QOR, qui rencontrera le demi cercle aux points Q & R, par où l'on menera QL & RM parallèles à PK, qui couperont Al aux points cherchez Z & M. De forte qu'ayant pris AS, BT, & BV égales à AL, l'on formera le rectangle EHGF, & le Problême fera réfolu.

DEMONSTRATION.

PAR la proprieté du cercle AL × LI=LQ 2 ou en termes Algebriques × ×

C. 2.F. D.

mab-nab

4.m

I

ou xx === ax + bx

2

qui eft l'équation que l'on a construite.

J'ai démontré la conftruction de ces deux derniers Problêmes algebriquement, pour indiquer la maniere de démontrer tous les autres de même; ce qui eft fi facile, que je ne crois pas qu'il foit neceffaire d'apporter un plus grand nombre d'exemples.

Les Démonstrations, faites à la maniere des anciens, éclairent plus l'efprit que les Démonftrations Algebriques, quoiqu'elles ne foient pas plus certaines; mais auffi

elles ne font pas fi faciles à trouver, comme il eft aifé de juger par les Démonftrations des Problêmes précedens, que l'on auroit pû démontrer par l'Algebre aufsi facilement que les deux derniers.

SECTION III.

Où l'on donne la Méthode de démontrer les les Theorêmes de Geometrie.

VIII.

METHOD E.

AP

PRE's avoir mené les lignes que l'on juge neceffaires, en suivant les Observations de l'article 4, on nommera celles qui doivent entrer dans. la queftion, comme lorfqu'on veut réfoudre un Problême, avec cette difference, que l'on peut fe fervir de toutes les lettres indifferemment : car comme l'on ne cherche la grandeur d'aucune ligne, on les peut regarder comme étant toutes connues, ou inconnues.

Cela fait, on exprimera en termes Algebriques, les veritez que l'on veut démontrer, & on cherchera des équations par les proprietez du triangle rectangle, & des triangles semblables, ou autrement, que l'on ramenera par le moyen des fubftitutions aux mêmes expreffions, que celles qui expriment les veritez dont il s'agit, & alors le Theorême sera démontré.

S'il arrive que tous les termes de l'équation fur laquelle on opere, fe détruisent, de forte qu'il refte o=0, le Theorême fera encore démontré : car c'eft une mar que que la chofe eft telle qu'on l'a fuppofée, fans qu'il foit neceffaire de déterminer la grandeur d'aucune des lignes qui ont été nommées. Ceci arrive ordinairement lorfque l'on regarde les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes qu'on veut réfoudre.

Il arrive auffi quelquefois que l'on croit réfoudre un Problême, & il fe trouve par la mutuelle destruction

des termes de l'équation, que c'est un Theorême, qui
fe trouve auffi par ce moyen démontré. Tout ceci fera
éclairci par
les Exemples qui fuivent.

I.

SI

EXEMPLE L

Theorême.

I une ligne droite donnée AB, eft coupée également en Fig. 347 C, & inégalement en D; le quarré de la moitié CB moins Le quarré de la partie du milieu CD, fera égal au rectangle des deux parties inégales AD, DB.

Ayant nommé AC, ou CB, a ; CD,b; AD sera a+b; & DB, a— b.

Il faut démontrer que aa—bb (CB 2 — CD 2 ) AD × DB.

DEMONSTRATION.

EN multipliant a + b ( AD) par a — b,

(DB)

F'on aura aa

C. Q. F. D.

S 1

bb (CB2 CD) = AD × DB.

EXEMPLE IL

Theorême.

2. une ligne droite AB, coupée par le milieu en C, eft FIG. 35 prolongée en D d'une grandeur quelconque. Je dis que le quarré de CD moins le quarré de CB, fera égal au rectangle de la toute AD, par la partie prolongée BD.

Ayant nommé CD,a; AC, ou CB,b; AD fera, a+b; & BD, a-b.

Il faut démontrer que aa ADX DB.

bb (CD2-CB2) =