Ayant nommé BC, a; EF, b; AG, c; DH,d; le triangle ABC, x; & le triangle DEF, y; l'on aura le triangle ABC= =y; donc x.y:: AC 2 AC 2 x, & le triangle DEF = bd 2 :: ac. bd; donc bdx = acy : Mais (hyp) a. b: d. c; donc ac=bd; c'est pourquoi acy devient xy, ABC la premiere équation bdx DEF. C. Q. F. D. =acy On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prifmes, les cilindres, les cones, & les piramides dont les bafes, & les hauteurs font en raison reciproque, font en raifon d'égalité. On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Theorêmes de Geometrie: car les quatre Sections fuivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus confiderables des Sections coniques, en fourniront un affez grand nombre. SECTION IV. Des Sections du Cone & du Cilindre. FIG. 45, IX. 1. 46, DEFINITIONS O GENERALES. N appelle Section Conique, une ligne courbe IDH, qui eft la commune Section d'un Plan 47. EDF, & de la fuperficie d'un Cone ABC, dont A eft le fommet; & la bafe eft un cercle dont le diametre est BC. 2. Le triangle ABC eft appellé le triangle par l'axe; parcequ'il eft la commune Section du Cone, & d'un Plan qui paffe par le fommet A, & par le diametre BC de la bafe, & que l'axe du Cone, eft dans le Plan du même triangle ABC. SUPPOSITION. 3. N fuppofe que le Plan EDF, eft perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le Plan du triangle ABC, eft perpendiculaire à la base du Cone. COROLLAIRE. 4. D'où il fuit que DG, qui est la commune Section du Plan EDF, & du triangle ABC, eft perpendiculaire à EGF, qui eft la commune Section du même Plan EDF, & de la bafe du Cone; & qué la même EGF, eft perpendiculaire à BC; & par confequent coupée ( Fig. 45, & 47) par le milieu enG, d'où l'on conclura auffi que fi l'on mene par quelque point Z de la ligne DG,une ligne MN parallele a BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, feront dans un plan parallele à la bafe du Cone, dont la commune Section avec la fuperficie du Cone, fera un cercle qui paffera par les points M, I, N, H, & dont le diametre fera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en Z, la ligne IH. Il fuit auffi que le point D, qui eft commun à la courbe IDH, & au côté AB du triangle ABC, eft plus prés du fommet A dans les fuppofitions précedentes, que tout autre point de la même Courbe. DEFINITIONS PARTICULIERE S. 5. LA Section Conique IDH, eft nommée parabole, F 16. 45. lorfque le Plan coupant EDF, eft parallele à un des côtez AC du Cone ou du triangle ABC ; DG est nommée l'axe de la parabole ; D, fon fommet ; DL, l'abciffe, ou la coupée ; IL, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée à l'axe. 6. La Section Conique IDH, eft appellée, ellipfe, F1 c. 46. lorfque le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB, AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'eft point parallele à la base du Cone. La ligne Dd eft nommée l'axe, ou diametre principal; le point K milieu de Dd, le centre; la ligne VKR menée par le centre K perpendiculaire à Dd, l'axe, ou le diametre conjugué à l'axe Ddi DL, l'abciffe ou la coupée; LI, ou LH, l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe Dd. Il peut arriver un cas où la Section eft un cercle quoique le Plan coupant ne foit point parallele à la base du Cone: mais cela ne fait rien à notre deffein. 7. La Section Conique IDH, eft appellée hyperbole, FIG.47. lorfque le Plan coupant EDF, coupe auffi la fuperficie Conique oppofée, & y forme une autre hyperbole edf, oppofée à la premiere, que l'on démontrera ailleurs lui être égale, & femblable; Dd eft nommée l'axe déterminé de l'hyperbole, ou des hyperboles oppofées; D, & d, le fommet de l'axe Dd; DL, l'abciffe, ou la coupée ; LI, ou LH, l'appliquée; ou l'ordonnée ; le point K milieu de Dd, le centre. PROPOSITION. I. Theorême. FIG. 45. 8. EN supposant les mêmes chofes que l'on a fuppofées dans = Puifque le Plan coupant EDF eft ( n°. 5.) parallele à AC; AP DO fera = LN; & ayant nommé les données AO, b; DO, ou AP, ou LN, c; PQ, P ; & les inconnues DL, x; & LI, y. Il faut prouver que px ( PQ × DL ) = yy ( LI2). DEMONSTRATION. LES triangles semblables AOD, DZM, donnent AO (b). OD (c) :: DL ( x ). LM = : Or (n°. 4), есх b & par la proprieté du cercle ( ZM× LN) =(LI2) DEFINITION. 9. La ligne PQ=p, est appellée le parametre de l'axe +num.5. PROPOSITION II. Theorême. 10. EN fuppofant les mêmes chofes que dans la Figure où F16. 46. la courbe IDH est une ellipfe ; & outre cela, fi l'on divife Dd Ayant nommé les données DK, ou Kd, a; SK, g; KT, f; KV, ou KR,b; & les indéterminées KL, x; ou LH, y, DL fera a-x, & dL, a + x. LI Il faut démontrer que aa -xx (DL x Ld). yy ( LI2 ) :: aa ( DK 2). bb ( KR2). DEMONSTRATION. LES af fx a ag gx & KD (a). KS ( g ) :: LD (a- x) LM="8—8*; a donc par la proprieté du cercle aafg — afgx+afgx — fexx ( LN × LM}=yy (LI2), qui se reduit à aaƒg — fgxx aa =yy: mais fg=TK × KS=( par la proprieté du cercle KR2=bb; c'est pourquoi mettant dans l'équation pré 2 |