c'est-à-dire fur les équations déterminées, & fur les indeterminées.

3.

DES EQUATIONS DETERMINE'ES.

ON fçait que la lettre inconnue de ces équations, a autant de valeurs ou de racines, qu'elle a de dimenfions dans le terme où elle eft le plus élevée, que cés valeurs font vrayes, fauffes, ou imaginaires, on ne dit pas qu'elles foient toutes d'une même efpece dans une même équation: car dans une même équation il y en a quelquefois des trois efpeces, de vrayes, de fauffes, & d'imaginaires.

Les racines vrayes ou pofitives font celles qui font précedées du figne+: comme x = +a:

Les racines fauffes ou negatives font celles qui font précedées du figne -: comme x =— a. Les racines fauffes font d'un grand ufage dans la Geometrie, car comme elles font autant réelles que les racines pofitives, elles fervent à déterminer les pofitions des courbes autant que les pofitives, dont elles ne different qu'en ce que les pofitives devant être prifes d'un côté d'un point ou d'une ligne, les fauffes doivent être prises de l'autre comme on verra dans la fuite.

Les racines imaginaires font celles qui font fous un figne radical avec le figne : comme x=V— ab; &

comme la valeur de ces racines ne peut être exprimée, les racines on les regarde comme nulles ou=0; de forte que imaginaires, x=V-ab. doit être regardée comme x = o. font regardées Dans toutes les équations où il n'y a que deux termes comme nodes. tous deux pofitifs, l'un connu & l'autre inconnu, fi l'ex-x√_ab=0 pofant de l'inconnue est un nombre pair, elle aura deux valeurs réelles, l'une pofitive & l'autre negative, toutes les autres feront imaginaires. Par exemple, de xx = aa, l'on tire x =➡ a, & x=— a; car en quarrant les deux membres de ces deux équations l'on a toûjours xx=aa, puifque. -x- donne auffi bien que ++, &

squatione determinata fiexponens in ognite git num numerus par, equating notes habere has radices севеторю reales, pofitiram and false cetero pro imaginariis habenda funt.

alteram

vale pour le en general de xa (p. fignifie un nombre pair quelnombre des ra, conque) l'on tire x =a: ce qui fe prouve comme on cine vrages on vient de faire, en élevant l'un & l'autre membre à la puifHans les fance paire p; car l'on aura toûjours x P a o.

minées, fil

me

Si l'un des termes eft pofitif & l'autre negatif, toutes les valeurs de l'inconnue feront imaginaires: car on

pair, Mifare té négative à une puiffance paire: par exemple—a élevé

-ap.

p

pair. x = a, à une puiffance paire donnera toujours +a3, & jamais Si l'expofant de l'inconnue eft un nombre impair, l'inSi elle eft I'une connue n'aura qu'une racine réelle qui eft pofitive, lorf puiffance impui, que les deux termes des équations font pofitifs ; negative re. x + lorsqu'un d'eux eft negatif, toutes les autres racines font imaginaires : par exemple, de x'=a' on tire x=a, & non pas x=-a, & dex=-a', on tire x=-a & non pas x=a; car le cube d'une grandeur pofitive eft toûtjours pofitif, & celui d'une quantité negative eft toûjours negatif. Et en general de x 9=a (q fignifie un nombre impair) on tire x=+a; de même,de x-a¶ on tire x=-a: cara élevé à une puiffance impaire q donne+aa: & — a élevé à une puissance impaire q donne toujours—aa.

сат

la ravine de x2 = a3eft x = α et celle ve

3

a

On fera les mêmes raifonnemens fur les équations compofées par exemple xx= aa ✈ bb donne x= + Yaa+bb, xx=aa-bb donne x =Vaa-bb: mais en ce cas fi b surpasse a, les deux valeurs de x font imaginaires. xx=±axbb donne x=a±vaabb:car en transpofant l'on a xxax=bb; & ajoûtant aa

de

part

4

I

4

& d'autre pour rendre le premier membre quarré, l'on aura xx Fax+ a=—aa—bb; donc en ex

4

trayant la racine quarrée de part & d'autre, l'on a x _a=±V1_aa+bb, ou x= a✦V1aabb. Il en eft !. ainfi

ainfi des autres. Mais il faut remarquer que fi dans ce
dernier exemple, & dans les semblables,`bb a le signe
de —, & que b surpasse—a, la valeur de x fera imagi-

I

naire; car puisque la quantité aa-bb qui eft fous

le figne radical, est alors negative,

4

aa-bb fera une

quantité imaginaire ; & par consequent auffi±a±
vaa-bb: car une quantité imaginaire étant combi-
née de quelque maniere que ce soit avec une quantité
réelle, rend le tout imaginaire.

4. On connoît la nature d'un Problême déterminé
par le plus haut degré, ou ce qui eft la même chose,
par la plus haute puiffance de l'inconnue, qui fe trouve
dans l'équation qui fert à le réfoudre, en fuppofant que
cette équation foit réduite à fon expreflion la plus fimple.
De forte que lorfqu'en refolvant un Problême, on vient
à une équation où l'inconnue n'a qu'une dimenfion: Problême Simple
4o, qui eft une équation du premier degré,

comme x=

ab

с

le Problême eft appellé simple.

Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a deux

quatio imi gradg

zigradus. dimenfions: comme xx=ax+bb, qui eft une équation blime & lan du fecond degré, le Problême eft nommé plan. Lorsqu'on trouve une équation où l'inconnue a trois

Problème Solide

ou quatre dimenfions, comme x=aab, ou x4 = a3b,
qui font des équations du troifiéme & du quatrieme de-on l'inconnue
gré, le Problême est nommé solide.
a 3 ou 4 dimen.;,

Lorsqu'on vient à une équation où l'inconnue eft éle- fions.
vée au-delà du quatrième degré, le Problême eft nom- Problême lineairs
ite a son.

mé lineaire.

on

5. Quand une équation déterminée a tous les termes, phis de dimension le nombre en eft plus grand de l'unité, que l'expofant de la plus haute puiffance de la lettre inconnue qu'elle

B

Equations

Vocales

renferme. Ainfi une équation du fecond degré ne peut
avoir que trois termes; une équation du troifiéme de-
gré, n'en peut avoir que quatre ; une du quatrième,
cinq; & ainfi des autres. Mais il y manque fouvent quel-
qu'un des termes moyens, quelquefois il en manque plu-
fieurs, & quelquefois ils y manquent tous.

Le premier terme d'une équation, est celui où l'in-
connue eft élevée à une puiffance plus haute que dans
tout autre terme. Le fecond, eft celui où elle eft moins
élevée d'une dimenfion. Le troisième, celui où elle est
moins élevée de deux dimensions ; & ainfi de fuite. Le
dernier, eft celui où elle ne fe trouve point du tout.

+

Mais il faut remarquer qu'il fe rencontre fouvent dans une équation des termes complexes, ou compofez de plufieurs quantitez Algebriques, jointes enfemble par → ou par,qui font ceux où l'inconnue fe trouve élevée à la même puiffance, ou bien ceux où elle ne fe trouve point du tout. Par exemple, ces quantitez axx-bxx→ cxx, ou abb―bcc+d3, ne doivent être regardées que comme un feul terme.

On écrit ordinairement le premier terme d'une équation feul dans le premier membre, & tous les autres dans le second, felon leur ordre; ou bien on les égale tous à zero, en les écrivans tous dans le premier membre de l'équation, felon leur ordre; & en écrivant o feul dans le deuxième, en obfervant que le premier foit toujours fimple, & délivré de toute quantité connue, comme on voit dans l'équation fuivante.

DES EQUATIONS INDET ER MINE'E S.

III. LE s équations où il fe rencontre deux lettres in-
connues, qu'on appelle auffi équations locales, fervent

Les Equations où il fe rencontre deux lettres
inconnn's, czept-à-dire les equations indeterminées
S'appellent anfi &quations locales.

à construire les Problêmes indéterminez, comme celles où il ne s'en rencontre qu'une fervent à construire les Problêmes déterminez. Mais parceque tant qu'il y a dans une équation deux lettres inconnues; en les regardant comme telles, on ne peut connoître ni l'une ni l'autre. C'eft pourquoi on eft obligé d'affigner à l'une des deux, une valeur arbitraire; & la regardant enfuite comme donnée, on pourra connoitre la valeur de l'autre.

Et comme on peut affigner à la même inconnue une infinité de valeurs l'une aprés l'autre, l'autre inconnue en pourra auffi avoir une infinité. Mais en donnant ainsi differentes valeurs à une des inconnues d'une équation, on doit, à chaque fois, regarder cette équation comme une équation déterminée; & par confequent lui attribuer tout ce qu'on a dit dans l'Article précedent des équations déterminées. En effet,refoudre, ou plûtôt conftruire un Problême indéterminé, c'eft construire une infinité de fois un Problême déterminé,

REMARQUE.

1. LE s valeurs arbitraires que l'on affigne à une des lettres inconnues d'une équation indéterminée, doivent fouvent être limitées, & être renfermées dans certaines bornes. Et fi elles excedent ces bornes, les valeurs de l'autre inconnue, feront ou negatives ou imaginaires. Par exemple, dans cette équation x=b-y, toutes les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y ne doivent point exceder la grandeur donnée b, autrement celles de x feroient negatives; ce qui eft évident. Si l'on fait y =0, l'on aura x=b; & fi l'on fait y=b, l'on aura x=0; car l'équation deviendra x=b-bo. Dans cette équation xx=au-yy, les valeurs arbitraires que l'on peut donner à l'inconnue y,ne doivent point exceder la grandeur donnée : car autrement les valeurs de x feroient imaginaires, puifque tout le fecond membre de l'équation feroit negatif. Si l'on fait y=a, l'on aura