I COROLLAIRE. IX. 13. Si l'on nomme AP,×; BP fera, 2a — x, & l'on aura (n°. 5) 2ax-xx (AP × PB). yy ( PM2 ) :: aa 【 AC2). bb (CD2 ); donc 2ax-xx= nayy bb, qui montre que lorfque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Ellipfe, il fe trouve des feconds termes dans fon équation, & qu'une équation locale appar. tiendra toujours à l'Ellipfe, lorfqu'elle renfermera deux quarrez inconnus, l'un defquels ou tous deux feront accompagnez de quelque quantité connue differens fignes dans les deux membres de l'équation, ou même figne dans le même membre, quelque mêlan ge de conftantes qu'il s'y rencontre, & pourvû que les deux inconnues ne foient point multipliées l'une par l'au tre.. COROLLAIRE X. 14. SI dans l'équation à l'’Ellipse aa— xx — 2ax aayy & auront = b; l'on aura aa— xx=yy, qu 2ax — xx=yy ; qui eft une équation au cercle, pourvû que les coordonnées x &y fallent un angle droit : car Pune & l'autre de ces deux équations donne AP × PB PM' qui eft la principale proprieté du cercle. D'où l'on voit auffi que l'équation à l'Ellipfe ne differe de celle du cercle, qu'en ce que l'un des quarrez inconnus eft accompagné de quelque quantité connue (dans l'équation à l'Ellipfe,& qu'ils en font tous deux délivrez dans l'équation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipfe dont les foyers font confondus avec le centre, & dont tous les diametres font par confequent égaux entr'eux, & à leurs parametres. les coorDans l'équation au cercle aa—xx = yy, 'données ont leur origine au centre, & dans celle-ci, zak xxyy, l'origine des coordonnées n'est point au -- centre. N 15.LES mèmes chofes que dans la premiere Propofition étant fuppofees. Je dis que l'appliquée FO au foyer Fest égale à la moitié du parametre de l'axe AB. Il faut prouver que FO = p. 2 D'EMONSTRATION. SI dans l'équation aa — xx — dayy on fait x (CP) =c(CF), le point Ptombera enF, & PM deviendra FO; & l'on aura aa - cc —— yyaa aa- cc d'où l'on tire y (no. 6) p.C. Q. F. D. y= 16. LES deux axes conjuguez AB, DE d'une Ellipfe étant donnez, trouver les foyers F, &G. Soit du centre D, extremité de l'axe conjugué DE & du rayon AC, décrit un cercle qui coupera AB en deux points F & G qui feront les foyers qu'il falloit trou ver. DEMONSTRATION. PAR la conftruction FD+DG=AB; donc (no. 2) PROPOSITION IV. 17. LE grand axe AB d'une Ellipfe & les foyers F & G étant donnez déterminer l'axe conjugué à l'axe AB. Soit du foyer F pour centre, & pour rayon le demi axe AC décrit un cercle. Il coupera la perpendiculaire à AB menée par le centre C en deux points D & E, & DE fera l'axe conjugué à l'axe AB. ELLE DEMONSTRATION. L LE est la même que celle de la Propofition pre cedente. I PROPOSITION Theorême. V. 18. S 1 l'on fait MQ perpendiculaire à DE. Je dis que le rectangle des deux parties DQ, QE de l'axe DE faites par appliquée MQ, eft au quarré de MQ: comme DE' quarré de l'axe DE à AB2 quarré de l'axe AB. En laiffant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a donnez dans la premiere Propofition, CP, ou QM étant x; & PM, ou CQ,y; DQ fera, b—y; &QE, by. Il faut démontrer que bbyy. xx:: 4bb. 4aa. te analogie bb yy. xx :: bb. aa :: 4bb, 4aa, DQ * QE. QM DE. AB. C. 2.F. D. DEFINITION. × 2aa que je nomme p; la ligne 19. S1 l'on fait 2b. 24 :: 24. COROLLAIRE 20. b. a za.p, donne bp=2aa, ou bbp➡ zaab, 26 bb Ou P Bb 26 c'eft pourquoi fi on met en la place de bb dans l'équation precedente, l'on aura bb →yy — ou fi l'on fait, l'on aura bb — yy = mxx n 2bxx On ajoutera à ce Corollaire les raisonnemens que l'on a faits no. 9, 10, 11, 12, 13 & 14. née, décrire l'Ellipfe lorfque les coordonnées font un angle droit. Soit premierement trouvé une moyenne proportionnelle entre a; & b qui foit f; & par confequent f суу — ab ; ainfi l'équatiou sera ff-xx=. On fait ce changement parceque ab étant l'expression du quarré du demi diametre dont les parties font nommées x, cette expreffion doit auffi être un quarré. Soit prefentement C, l'origine des inconnues x, qui va vers A & vers B, &y, qui va vers D & vers E. Le même point C doit auffi être le centre de l'Ellipfe; puifque les inconnues x & y n'ont point de second terme dans l'équation. Soit fait CA & CB chacune=f; AB fera le grand axe, fi c surpassed; le petit, fi c est moindre que d. Pour avoir l'axe conjugué à l'axe AB, aff foit fait c.d: ff. & foit prife CD & CE chacune égale à ✔df; DE sera (no. 12) l'axe cherché. Ayant ز enfuite trouvé les foyers F & G par la troifiéme Propofition, on décrira l'Ellipfe par la premiere. DEMONSTRATION. ELLE eft evidente par ce que l'on a démontré no. 12. Prop. 1 & 3. PROPOSITION VII. Problême. XIII. UN E Ellipfe ADBE, dont AB eft le grand axe ; FIG. 55. C, le centre; F&G, les foyers, étant donnée. Il faut d'un point quelconque M donné fur l'Ellipfe mener la tangente MT. Ayant mené FM, & GM, prolongé FM, en 1, en forte que MI= MG, & mené GI. Je dis que la ligne MO menée du point M par le point O milieu de GI sera la tangente cherchée. D'UN DEMONSTRATION. UN point quelconque Z autre que M pris fur MO, ayant mené les droites LF, LG, LI; puifque par la conftruction MG MI, & 10 OG, MO fera perpendiculaire à GI; c'est pourquoi le triangle GLI fera ifofcele, & partant FL + LILF + LG furpafle FM+ Mİ =FM+ MG; donc le point Z eft hors de l'Ellipfe. C. Q.F.D. I COROLLAIRE I. J. Si l'on mene MK parallele à IG; l'angle KMO fera droit: puifque (Conft.) GI eft perpendiculaire à MO. COROLLAIRE II. A 2. La ligne MK partage l'angle FMG en deux également: carà caufe de KM parallele à GI, l'angle FMK FIG=MGI=GMK. |