le fecond degré, ou la feconde puiffance, ou le quarré de a sa, le troifiéme degré, ou la troifiéme puiffance ou le cube de a; at, le quatrième degré, ou la 4 puiffance, ou le quarré quarré de a; a, le cinquième degré, ou la 5a puiffance, ou le quarré cube de a;a, le fixième degré, ou la fixiéme puiffance, ou le cube cube de a; a', le feptiéme degré, ou la feptiéme puiffance de a,&ainfi à l'infini, d'où l'on voit que les puiffances tirent leur nom de leurs expofans.

18. Une puiffance peut auffi être regardée comme le produit de deux puiffances, ou comme la puiffance d'une autre puiffance: ainfi a peut être regardée comme le produit de axa, ou comme la feconde puiffance de a, ou comme la troifiéme de a2.

19. Il y a auffi des puiffances faites du produit de deux ou plufieurs lettres multipliées l'une par l'autre : ainsi aabb, eft la feconde puiffance de ab; a3b, la troifiéme puiffance de abb. Il en eft ainfi des autres,

I

DEFINITION.

20. Si deux quantitez differentes, ou égales forment un produit,ou une puiffance,ces quantitez font nommées cotez ou racines de ce produit ou de cette puiffance. Ainfi a & b font les côtez, ou les racines de abi a le côté ou la racine de aa, &c.

FORMATION

Des puiffances des quantitez incomplexes. 2IL eft évident (no. 17) que pour élever une quantité incomplexe à une puiffance donnée, il n'y a qu'à multiplier cette quantité par elle-même autant de fois moins une que l'expofant de la puiffance donnée contient d'unitez. Ainfi pour élever ab à la troifiéme puiffance, il faut multiplier ab deux fois par elle-même, ce qui donnera asb. Il en eft ainfi des autres.

22. D'où il eft aifé de voir qu'on peut faire la même chose d'une maniere plus courte, en multipliant les Expofans de la grandeur donnée par l'Expofant de la puif fance à laquelle on veut élever cette grandeur. Ainfi la 3o puissance de ab, ou a’b'est aTM×3 b1×3 — a’b3; la 4o puisfance de a' eft a =a”; la 3 puiffance de aab', ou a2b 2×3 63. x3. eft a = ab'; la 3o puiflance de -a oua › — a'i la quatrième puissance de

est

a

IX 3

- aest a

<a

mn a

3

IX 4

3× 4

4

12

2.3

I

- a ou

m

= a*, & en general la puiffance n de a eft

mn

La puiffance n de — a” est ± a felon que n fignifie un nombre pair, ou impair.

23. Il eft clair (no. 14, &15) que pour multiplier un produit ou une puiffance par un autre produit, ou par une autre puiffance où fe trouvent les mêmes lettres,il n'y a qu'à ajouter leurs Expofans. Ainfi a3× a2=a

ха =a

2

MULTIPLICATION

Des quantitez complexes algebriques, & de la Formation de

24.

leurs puissances,

REGLE,

ON N multipliera tous les termes de l'une des quantitez par chacun de ceux de l'autre, en obfervant les Régles prefcrites n°. 14, & 15, & l'on aura le produit to que Î'on réduira ( no. 11 ) à fa plus fimple expreffion,

tal

b

EXEMPLE S.

25. So I T la quantité
à multiplier par
Produits particuliers.

A. a 2b— C.
B. 24+ 36.

C. 2aa + 4ab D. +3ab 6bb3bc. Produit total. E.2aa7ab-2ac + 6bb —3bc. Le premier terme ze de la quantité B multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité C.

&

Le fecond terme 36 de la quantité B, multipliant tous les termes de la quantité A donnera la quantité D ayant fait la réduction des deux quantitez C & D, l'on aura la quantité E qui fera le produit des deux quantitez A & B.Donea+26 −6 × 2a + 36 — 2aa7ab - zac +6bb ·3bc.

26. Soit la quantité à multiplier par

Produits particuliers,

Produit total

A. aabb.

bb de

Le premier terme aa de la quantité B, multipliant la quantité A produit la quantité C. Le 20 terme la quantité B multipliant la quantité A produit la quantité D, & en réduifant les produits particuliers C & D, l'on a le produit total E. Donc aa+bb × aa — bb — at 64.

27. On fe contente quelquefois pour exprimer la multiplication de deux quantitez complexes, d'écrire entre deux le figne de multiplication.

Ainfi pour multiplier a+bpar a- b, l'on écrit a+b × a − b, ou a + bxa b. Il en eft ainfi des autres.

FORMATION

Des puiflances des quantitez complexes.

28. Pour élever une quantité complexe à une puissan

ce donnée, il faut, comme pour les quantitez incomplexes, la multiplier confecutivement autant de fois moins une que l'expofant de la puiffance donnée contient d'unitez. Ainfi pour élever a + b, à la 3o puissance, il faut (n°. 24) multiplier a+b par a+b, ce qui donne aa+2ab +bb, qui étant encore multipliée par a+b, donne a3 + zaab ✈zabb + b3, qui eft la 3* puissance, ou le cube de a+b. Il en eft ainfi des autres.

On peut abreger l'operation lorsqu'il s'agit d'élever un pobynome au quarré.

29. On écrira le quarré du premier terme + ou deux fois le rectangle au produit du premier par le fecond, + le quarré du fecond; & ces trois termes feront le quarré cherché, fi c'est un binome. Mais fi c'est un trinome, on écrira encore ou deux fois le produit des deux premiers par le troifiéme + le quarrẻ du troifiéme. Si c'est un quadrinome, on écrira encore+ou deux fois le produit des trois premiers par le quatriéme. + le quarré du quatrième, & ainfi de fuite. Ainsi le quarré de a- b + c est aa → zab → bb + zac — 2bc

+ cc.

On a mis ici cette abréviation, parceque l'on a tresfouvent befoin de cette operation dans l'Application de l'Algebre à la Geometrie.

Voici une abréviation plus confiderable pour élever un binome à une puiffance quelconque.

30. L'on écrira au premier terme la premiere lettre du binome élevée à la puiffance donnée; au fecond la même lettre élevée à une puiffance plus baffe de l'unité, & multipliée par la 2 lettre ; au troifiéme, la même lettre élevée à une puiffance encore plus baffe de l'unité & multipliée par le quarré de la feconde; & ainfi de fuite, en abaiffant à chaque terme la puiffance de la premiere lettre de l'unité, & élevant au contraire celle du fecond de l'unité, jufqu'à ce que l'on arrive au terme, où la même premiere lettre n'aura qu'une dimenfion qui fera le pénultiéme ; & l'on écrira au dernier terme la feconde Ict

tre élevée à une puiffance égale à celle du premier. Ainfi pour élever a + b à la 4 puiffance, l'on écrira, A. a++ a3b → aabb + ab3 → b+. Si le binome eft tout pofitif, tous les termes de la puiffance auront le figne +; fi la feconde lettre eft négative,les termes où elle le trouvera élevée à une puissance impaire, ou dont l'expofant est un nombre impair, auront le figne-, & tous les autres le figne, comme on voit dans la puiffance A.

11 refte encore à trouver les coefficiens; en voici la Méthode.

On donnera au fecond terme pour coefficient l'expofant du premier ; on multipliera le coefficient du fecond par l'expofant que la premiere lettre a du binome a au même fecond & le produit divifé par 2, fera le coefficient du troifiéme. De même, le coefficient du troifiéme multiplié par l'expofant que la premiere lettre a au même troifiéme; & le produit divifé par 3, fera le cofficient du quatriéme; & ainfi de fuite. De maniere que le coefficient d'un terme quelconque multiplié par l'expofant que la premiere lettre du binome a dans le même terme, & le produit divifé par le nombre qui marque le lieu que ce même terme ocupe dans l'ordre des termes de la puiffance, eft le coefficient du terme fuivant. Ainfi la 4 puiffance du binome ab entierement formée eft,

a++ 3 aa± 4a3b+6aabb +4ab3 +b4. Il en eft ainfi des autres. S'il y a quelque nombre entier ou rompu qui précede l'un des deux, ou tous les deux termes du binome on multipliera le coefficient de chaque terme de la puiffance par une puiffance de ce nombre égale à celle où la lettre qu'il précede y eft élevée. Ainfi pour élever a+ 2b à la 3 puiffance, l'on y élevera premierement a+b & l'on aura a3 + zaab + zabb + b3, l'on multipliera enfuite les coefficiens des termes où b fe rencontre par la puiffance de 2 égale à celle où b y eft élevée, c'est-à-dire que l'on multipliera 3aab par 2, zabb par4, & b par 8, & l'on aura a3 + 6aab+12abb +863, qui fera le cube de a+26.