On peut auffi élever par les mêmes régles un binome quelconque p+qà une puiffance indéterminée m ( m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif) qui fera, q +mx 2 X M-2. 2 MI m- fera 9+mx m m-I 4 4 2 P *q* &c. Où l'on ز voit que la premiere lettre p du binome a pour expofant dans tous les termes, m moins un nombre entier; c'eft pourquoi fi ce nombre entier fe trouve dans quelqu'un égal à m, l'expofant de py o; & par confequent p=1, & ce terme fera le dernier de la puiffance m du binome pq. Mais fi ce nombre entier ne fe trouve jamais la puiffance m du binome p+q pourra être continuée à l'infini. 31. Le binome p+q élevé à la puiffance m, comme on vient de faire, peut fervir de formule génerale, pour élever un binome, ou un polynome quelconque à une puiffance donnée. Soit par exemple 2ax-xx qu'il faut élever à la 3o puiffance. leurs 2ax & 24x Ayant fuppofé 2ax=p, fubftituera en la place de p, de q, & de m, leurs va& 3 ; & en la place des puiflances de p & de q, les puiffances égales de leurs valeurs & l'on aura 8a3x3 xx > pour la puiffance cherchée : car m devient = 3 au qua triéme terme de la Formule. De même pour élever a+ b-cà la 3o puissance. Ayant fuppofé a=p, &m=3, l'on aura aprés les fubftitutions a3 + zaub→ 3abb+b3 zaac — 6abc →3acc —3bbc + 3bcc— c. II en eft ainfi des autres. 32. On fe contente quelquefois pour élever uu polynome à une puiffance donnée, d'écrire à fa droite l'expofant de la puiffance à laquelle on le veut élever. Ainsi élever a± 6 au quarré, on écrit a+b; pour l'éle-ver au cube, l'on écrit a+b'; & en general, pour pour éle -m ver abà la puiffance m, l'on écrit ab. m fignifie un nombre quelconque entier ou rompu, pofitif ou négatif. 33. Il eft clair que pour élever une puiffance quelcon que d'un polynome, formée comme on vient de dire, à une puiffance donnée, il n'y a qu'à multiplier l'expofant de l'une par l'expofant de l'autre. Ainfi pour élever a+b'à la 3° puiffance, l'on écrira a + b2 x 3 = a + =a+b pour élever a+b” au quarré, ou à la 2o puissance, l'on 2m m m écrira a+¿1”. Pour élever a+b à la puissance », l'on mn écrira ab. Il en eft ainfi des autres. 34. Il est encore évident que pour multiplier deux puiffances de la même quantité complexe, formées comme on a dit n°. 32. il n'y a qu'à ajouter ensemble leurs pofans. Ainfi pour multiplier a+b par a+b', l'on écri 2 + 3 = a + b2; a +b· ra a+b 35. -6m 3. 2 cxa+b 33a-b" xa n C -m хань a+b" "; a + b × +b I. DIVISION Des quantitez algebriques incomplexes & complexes. REGLE GENERALE, ON écrira le divifeur au deffous du dividende en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le quotient de la divifion. En effet, puifque toute divifion numerique exprimée, comme on vient de dire, eft égale à fon quotient, par exemple 3; =5, & quelle peut par confequent être prife pour fon quotient; il en doit être de même des divifions algebriques. Ainfi pour divifer ab parc, l'on écrira 36. Mais comme il est toujours neceffaire de réduire les quantitez algebriques à leurs plus fimples expreffions lorfqu'il eft poffible, & que les divifions, ou fractions dont on vient de parler, n'y font pas toujours réduites, il faut donner les régles neceffaires pour cet effet. Il y a differentes manieres, ou plûtôt, il y a des cas où il faut operer d'une certaine maniere ; d'autres, où il faut operer d'une autre maniere pour réduire les fractions, ou les divifions à leurs plus fimples termes. Nous ne donnerons à prefent que le cas où l'operation eft celle qu'on a toujours nommée divifion, les autres fe trou veront ailleurs. DIVISION Des quantitez incomplexes. 37. Il est évident(no.14 & 15) que lorsque le dividende est le produit du divifeur par une autre quantité quelconque, le quotient fera le dividende, aprés en avoir effacé le divifeur. Ainfi le quotient de ab divifé par a eft b, c'eft-à-dire que b; le quotient de abc divifé par ab A Il y a fouvent des nombres autres que l'unité qui précedent ou le dividende, ou le divifeur,& quelquefois tous les deux. Il faut auffi avoir égard aux fignes. Voici la regle qu'il faut obferver. par 38. On divifera par les regles de la divifion numerique, le nombre qui précede le dividende par celui qui précede le divifeur, & (n°. 37 ), les lettres du dividende celles du divifeur, & l'on donnera au quotient le figne file dividende & le divifeur ont tous deux le même figne ou ; & fi l'un a+ & l'autre, l'on donnera au quotient le figne. Ainfi le quotient de 12ab par za -zab & = 4aab. Il en eft ainfi des autres. 39. Si le dividende & le diviseur font semblables, égaux, le quotient sera l'unité. Ainfi “=1; 12ab a Izab Ce qui fuit de ce que toute quantité fe mesure, ou sẹ contient elle même une fois, 40. Il arrive fouvent que les nombres fe peuvent divifer, & que les lettres ne fe peuvent pas divifer, & au contraire, auquel cas il faut diviser ce qui fe peut divifer, & laiffer le refte en fraction. Ainfi 12ab = 36 4ab с 8abc заб 8c 3 41. Lorsque niles nombres, ni les lettres ne fe peuvent divifer, on écrit le divifeur au deffous du dividende en forme de fraction; & c'est en ce cas qu'il eft neceffaire de prendre cette fraction pour le quotient de la divifion. Ainfi pour diviser a parb, l'on écrira; pour di, 30 changemens de fignes que l'on vient de faire. Si l'on multiplie le quotient d'une divifion feur, il viendra la quantité à diviser: car la multiplicale divipar tion, & la divifion ont des effets contraires, auffi- bien que l'addition & la fouftraction. 42. Il eft clair (n°. 21 & 37 ) que pour divifer une puif fance fance quelconque d'une quantité incomplexe par une puiffance quelconque de la même quantité, il n'y a qu'à fouftraire l'expofant du divifeur de l'expofant du divia+b3 4—3 63 — 1 —abb; dende. Ainsia2=a3 AA →2 = d; =1, &c. 3 DIVISION Des quantitez complexes. -3 2 I 43. LORSQUE le dividende eft le produit du diviseur par quelqu'autre quantité, il eft clair que la divifion fe fera toujours exactement aussi-bien que celle des quan titez incomplexes. Or il eft fouvent aifé de voir fi une quantité que l'on > veut divifer par une autre quantité, eft le produit de la quantité qui doit être le diviseur par une troisième quan. tité; & alors le quotient fera cette troifiéme quantité. Ainfi ax-bx divifée par ab, donne au quotient x: car axbx eft le produit de a- bxx ; & ax-bx dia-bxx vifée par x, donne au quotient ab. Pareillement 44. Lorsqu'on ne peut pas aifément voir fi une quantité complexe peut être divisée par une autre quantité complexe, il faut l'examiner par la reglequi fuit, qui eft celle qu'on appelle divifion. 45. Pour faire plus facilement la divifion des quantitez complexes, on examine dans les deux quantitez que l'on veut divifer l'une par l'autre, qu'elle eft la lettre qui fe trouve le plus fréquemment avec des dimensions differentes; & l'on écrit dans l'une & dans l'autre quan tité le terme,où cette lettre a plus de dimenfions,le premier, & enfuite les autres termes, felon l'ordre des puif fances de la même lettre. Quelques-uns appellent cette lettre, lettre dominante. C |