DIVISION Des quantitez irrationelles. 71. O N écrira le dividende au-dessus du diviseur en forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le Quotient de la divifion. Mais lorsque l'on s'appercevra que le dividende sera le produit du diviseur par une autre quantité, ce qui est aisé dans les quantitez incomplexes, on prendra cette autre quantité pour le Quotient. Et dans les quantitez complexes, lorsqu'on n'apercevera pas le Quotient, on examinera (n°. 46.) fi la divifion fe peut faire; & fi elle fe fait, l'on aura un Quotient fans fraction: mais fi elle ne fe fait point, on fe con. tentera de la division indiquée. Ainsi =b; Vab Va acvbc avb. x: car a+ x x a aa xx. Il en eft ainfi des autres. Il y a d'autres Réductions pour les divifions indiquées qu'on trouvera ailleurs ; & tout ce que nous allons dire des raports, & des fractions, se doit auffi entendre de ces fortes de divifions, foit qu'elles foient rationelles, ou irrationelles. THEORIE. Des Raifons, ou Raports, des Fractions,des Equations, & des Proportions. II. RA DEFINITION S. AISON, ou Raport est la comparaison de deux grandeurs de même genre, genre, telles que font deux nombres, deux lignes, deux furfaces, deux corps, deux efpaces de temps, deux quantitez de mouvement, deux viteffes d'un même, ou de deux differens mobiles, deux poids, deux fons, &c. Or comparer les grandeurs, c'est operer fur les grandeurs ; & comme l'on ne peut operer fur les grandeurs qu'en les ajoutant, fouftrayant, multipliant, divifant, & en en extrayant les racines; il faut neceffairement que leur comparaison fe faffe par quelques-unes de ces ope rations. Mais parceque l'Addition, & la Multiplication les confondent, & n'en marquent point l'égalité, ou l'inégalité, en quoi confifte précisément la comparaifon des grandeurs, & que l'extraction des racines n'agit que fur une feule; & qu'au contraire la Souftraction fait connoître l'égalité de deux grandeurs, ou l'excés de l'une pardeffus l'autre, ou la difference de l'une à l'autre, & que la Divifion détermine combien de fois une grandeur en contient, ou eft contenue dans une autre; ou, ce qui eft la même chofe, indique la maniere dont une grandeur en contient, ou eft contenue dans une autre, ou en marque l'égalité; il fuit qu'il n'y a que la Soustraction & la Divifion qui puiffent fervir à comparer les grandeurs. 1. La comparaifon de deux grandeurs par la Souftraction ; ou, ce qui eft la même chose, la Souftraction elle même, eft nommée raison ou raport arithmetique, Ainfi -a, &c, font des raifons ou 12-43a-b, ou b 2. La comparaifon de deux grandeurs par la Division; ou, ce qui eft la même chose, la Division elle - même eft appellée raison, ou raport geometrique. Ainfi,ou ÷,ou h &c. font des raions ou des , ou, &c. font des raisons ou des raports geomet. On prend ici la Souftraction indiquée pour la Soustraction même, ou pour la difference des deux grandeurs qui la compofent; & l'on prend de même la Divifion indiquée pour la Divifion même, ou pour le Quotient des deux quantitez qui la forment, On appellera dans la fuite Réduction, le résultat de ces deux Regles, ou de ces deux Raports, c'est-à-dire, la difference & le Quotient des deux quantitez qui les compofent. L COROLLAIRE I. 3. Ix eft clair que les raisons ou raports tant arithmetiFgeometriques ques que geographiques, font égaux lorfque leurs Rédu ·4=16—8, parceque 12 ations font égales. Ainfi 12-4=16— =3, &=3. Par la même raison, si=f,& =f; l'on aura b 4. Mais les Réductions, ou les Quotiens des divifions, ou des raports geometriques, font toujours égaux, lorf que les dividendes contiennent, ou font contenues de même maniere dans les divifeurs. C'eft pourquoi lorsque une grandeur a contiendra, ou fera contenue dans une autre grandeur b,comme une troifiéme c contient ou eft contenue dans une quatrième d, ces quatre grandeurs formeront toujours deux raports geometriques égaux, COROLLAIRE II. COROLLAIRE II. 5. IL eft de même évident que les raisons, ou raports tant arithmetiques que geometriques, font inégaux, lorfque leurs Réductions font inégales, & que le plus grand eft celui dont la Réduction eft la plus grande.Ainfi 12-4> 10-6: car 1248, & 10-64. De même ΙΟ 6. Le premier terme d'un raport arithmetique, & le terme fuperieur d'un raport geometrique, font nommez antecedens; le fecond d'un raport arithmetique, & l'inferieur d'un raport geometrique, font nommez confequens. Ainfi dans les raports a — —b, & —, aest l'an. a b tecedent, & b le confequent: mais comme les raisons ou les raports geometriques ne font autre chose que des Divifions indiquées, & que ces Divifions font, à proprement parler, des fractions; il fuit qu'il n'y a aucune difference entre raison, raport, divifion, & fraction; de forte que tout ce qu'on dira dans la fuite des uns, fe doit auffi entendre des autres. On remarquera feulement que pour parler comme les autres, lorfqu'il s'agira des raisons ou raports, on appellera les deux termes antecedent & confequent; lorfqu'il s'agira de divifions, on les apellera dividende & divifeur; & lorsqu'il s'agira de fractions, on les appellera numerateur & dénominateur. 7. Lorsque l'antecedent d'une raifon est égale à fon confequent, on l'appelle raifon d'égalité; & lorfque l'un furpaffe l'autre, on l'appelle raifon d'inégalité. 8. Lorfque l'antecedent d'un raport geometrique, contient plufieurs fois exactement fon confequent, il eft nommé multiple de ce confequent, & lorsque l'antecedent eft contenu plufieurs fois exactement dans fon confequent, il eft nommé foûmultiple du même confequent. 9. De tels raports tirent leur dénomination du nombre de fois que l'antecedent contient le confequent, ou f y eft contenu. De forte que fi l'antecedent contient deux, trois, quatre fois, &c. fon confequent, le raport fera nommé double, triple, quadruple, &c. & fi l'antecedent eft contenu deux,trois,quatre fois, &c. dans le confequent, le raport sera nommé foùdouble, foûtriple, foùquadruple, &c. Ainfi eft un raport triple, & eft un raport foûtriple, 12 4 10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lefquelles fe trouve le figne d'égalité, ax- xx=yy; x font des équations. ainfi a=b; ax ab 11. Les deux quantitez algebriques qui se trouvent de part & d'autre du figne d'égalité font nommées membres de l'équation ; celle qui le precede eft nommée le premier membre, & celle qui le fuit, le fecond. D'où l'on voit que les deux membres d'une équation font les expreffions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales. с COROLLAIRE. 12. L est évident que deux raports égaux arithmetiques, ou geometriques,peuvent toujours former une équation. Ainfi fi a furpaffe, ou eft furpaffée par b, de la même quantité que furpaffe ou eft furpaffée par d, l'on aura toujours a― b=c—d, ou b— a=d-c. De même fi a contient ou eft contenue dans b, comme c contient où est contenue dans d, l'on aura toujours = 2, a 13. Mais fi au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou geometriques, on arange leurs quatres termes de fuite, en forte que l'antecedent de l'un des deux raports foit le premier, fon confequent, le fecond; l'antecedent de l'autre raport, le troifiéme, & fon confequent le quatrième, en féparant les deux raports par quatre points, & les deux termes de |