= chaque raport par un feul point, en cette forte a, b :: c. d, ( en supposant que a — b— c —d, ou ———);onappellera proportion, ou analogie cette difpofition des quatres termes de deux raports égaux. De forte que proportion ou analogie, n'eft autre chofe que l'égalité de deux raports arangez autrement qu'en équation. Si les raports font arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique; s'ils font geometriques, on la nommera proportion geometrique. 14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci abc.d; on dira, fi elle eft arithmetique, a furpaffeb, ou eft furpaffée par b,comme c furpaffe d, ou eft furpaffée par d, & fi elle eft geometrique, on dira a contient b,ou eft contenue dans b,commer contient d, ou est contenue dans d. Mais pour abreger, foit que la proportion foit arithmetique, ou geometrique, on dit a eft à 6, comme c eft à d, ou comme a eft à 6, ainfi c eft à d, en obfervant neanmoins que le mot eft fignifie furpaffe, ou eft furpaffe dans la proportion arithmetique; & que dans la geometrique, il fignifie contient ou eft contenu. L'on diftingue deux fortes de proportions, tant arithmetiques que geometriques, la difcrete, & la continue. 15. La proportion difcrete eft celle dont les mes font differens, comme celle-ci a . b :: c. 16. La proportion continue, eft celle où la même quantité eft le confequent du premier raport & l'antecedent du fecond, comme celle-ci a. b :: b, c, quatre ter d. 17. Les quantitez, qui forment une proportion font nommées proportionnelles. Ainfi la proportion discrete renferme quatre proportionnelles,& la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu eft nommée moyenne proportionnelle, arithmetique, ou geometrique, felon que la proportion eft arithmetique, ou geometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion, le premier & le dernier termes font nommés extremes,& les deux du milieu,moyens. 18. Lorsqu'une proportion continue renferme plus de trois termes : ou plutôt lorfque plufieurs grandeurs dont le nombre furpaffe 3, font rangées de fuite, de ma niere que chacune d'elles puiffe fervir de confequent à celle qui la précede ; & d'antecedent à celle qui la fuit, cette rangée de grandeurs eft appellée progression, arithmetique ou geometrique, felon que raports que les grandeurs qui la compofent ont entr'elles,font arithmetiques ou geometriques. A, B, C, font des progreffions arithmetiques. D, E, F, des progreffions geometriques. IL les D. 1.2.4.8.16, &c. COROLLAIRE I. 1 a A I - I &c. 19. Left clair (no. 18.) que dans une progreffion arithmetique, l'excés d'un terme quelconque par-deffus celui qui le fuit, ou qui le précede, doit être toujours le même. De forte que fi on nomme le premier terme d'une progreffion arithmetique ; & l'excés qui regne dans la progreffion m, (m peut fignifier un nombre quelconque, entier, ou rompu, pofitif, ou negatif) l'on pourra former par le moyen de ces deux lettres, une progreffion arithmetique generale en cette forte, a.a+m.a + 2m a + 3m, &c. COROLLAIRE II. 20. IL n'eft pas moins évident que fi dans la progression geometrique, l'on divife un terme quelconque par ceTui qui le fuit, la réduction, ou le quotient fera toujours le même; c'est pourquoi fi l'on nomme le premier terme d'une progreffion geometrique 6, & la réduction ou quotient qui regne dans la progreffion n ( n fignifie un nombre pofitif, entier, ou rompu), l'on pourra former une progreffion geometrique generale, en cette forte. &c. car fi une quantité é divisée par b b n b une autre donne au quotient n, la même quantité 6, divifée par le quotient n donnera cette autre. 21. Ceci fe peut auffi appliquer aux proportions tant arithmetiques que geometriques. Soit par exemple, la proportion arithmetique fuivante ab: c. d, fi l'on nomme ab, ou b-a, mic-dou dc fera auffi m; donc a.am :: c. c — M ou a.am :: c. c +m, d'où l'on voit que la fomme des extrêmes eft égale à la fomme des moyens, c'est-à-dire, a+ c + m = a + m + c, puifque ces deux fommes, qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez. 22. De même, fi dans la proportion geometrique =n, l'on aura auffi fuivante a. b ::c. d, on fait produits qui font les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez. 23. I AXIOME I. Si l'on ajoute, ou fi l'on soustrait, ou si l'on multiplie, ou fi l'on divife des quantitez égales par des quantitez égales ; les fommes, ou les differences, ou les produits, ou les quotiens, feront égaux. L COROLLAIRES. 1er.I1 fuit qu'on peut ajouter, fouftraire, multiplier, ou divifer les deux membres d'une équation par les deux membres d'une autre, chacun par chacun. Par exemple, fia=b, &c=d, l'on aura a±c=b+d,oua±d =b±c; ac = bd, où ad — bc ; = Ou a d 2o. Il fuit auffi de cet Axiome, & de ce que l'Addition & la Soustraction ont des effets contraires, que l'on peut paffer tel terme que l'on voudra d'un membre d'une équation dans l'autre en changeant fon figne, ce qu'on appelle tranfpofition. On peut même paffer tous les termes d'un des membres dans l'autre, ce qu'on appelle égaler tout à zero. Ainfi cette équation a+b c=g fe peut changer en celle-ci a+b=g+c, ou en celle-ci a=g+c—b, ou en celle-ci a + b C go, ou og c = a. b c: car par exemple, dans le premier changement, on ne fait qu'ajouter de part & d'autre du figne d'égalité, parcequ'elle y eft fouftraite, ce qui donne a+b―c+c=8 +c, qui se réduit à a+b=g+c. Il en est ainsi des autres changemens. 3o. Il fuit de ce Corollaire que l'on peut changer tous les fignes d'une équation; car il n'y a qu'à fuppofer qu'on fait paffer tous les termes d'un membre dans l'autre ; & que l'on peut mettre feuls dans un des membres, les termes qu'on veut, avec les fignes qu'on veut, 4o. Il fuit encore du même Axiome, & de ce que la divifion détruit ce que fait la multiplication; & au contraire, qu'on peut délivrer une équation de toutes les fractions qui s'y peuvent rencontrer car il n'y a qu'à multiplier toute l'équation par tous les dénominateurs l'un aprés l'autre, ou ce qui revient au même, la multiplier une feule fois par le produit de tous les dénominateurs, & enfuite réduire (art. 1. n°.37.) les termes fractionnaires. Par exemple, pour ôter les fractions de cette équation abx on la multiplira par c & с bcd +8x= a puis par a, ou une feule fois par ac, & l'on aura: +acgxabeed:mais (art.1.n°37.) aabcx aabcx aabx, & abccd a bccd; donc abcx+acgx= bccd qui n'a plus de fractions, L'on abrege l'operation, & particulierement quand les dénominateurs font des polynomes, en écrivant les numerateurs des termes fractionnaires fans y rien changer, & en multipliant les autres termes par les dénomi nateurs. Ainfi xx - aa 6-y pour ôter la fraction de cette équation c, ayant multiplié c par by, l'on aura xx — aa = bc — cy. Il en est ainfi des autres. Sc. Il fuit auffi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puiffance qu'on voudra d'une même lettre, qui fe trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui la mul tiplient; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puiffance: car il n'y a pour cela qu'à divifer toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où le trouve cette lettre, & tous les autres termes dans l'autre membre, & qu'à faire enfuite la réduction. Par exemple,fi dans cette équation ax = bc, l'on veut mettre x feuse dans le premier membre, l'on aura en divisant : mais (art. 1. n°.37.) toute l'équation par a ax = x; a réduit. bc donc x = ax bc b. Le fecond membre ne peut être Si dans celle-ci ax— ab + bx-bc, l'on veut avoir x feule dans un des membres, l'on aura en transposant,& en fuppofant que a surpasse b, ax — en divifant tout par a-b, l'on aura mais (art. 1. n°. 43, ou 46) ab-bc. A- -6° bx = ab― bc, &c Si dans cette équation ax-bx=aa- bb, l'on veut avoir x feule, en divifant par a— a-b, l'on aura |