4. Il fuit auffi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs femblables, lorfqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à même dénomination: car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainfi pour réduire à même dénominadf , ayant multiplié les deux termes de la pre tion 28 miere par g, & ceux de la feconde parc, l'on aura abg cg & caf S'il y en a un plus grand nombre,on multipliera les z cg termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainfi réduire pour a b g en même déno mination, ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la feconde par dg, & ceux de la troifiéme par.df, l'on aura afg bag caf dfgdfgdfg Il fe trouve fouvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, fans les changer toutes d'expression. Ainfi abb & & &, feront réduites en même dé cd nomination, en multipliant les deux termes de la feconde par d: car l'on aura dgh 5. Il fuit encore que c'est la même chose de diviser le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier fon numerateur par la même quan4 I A THEOREME IV. 33. Si l'on divife deux grandeurs quelconques a & ↳ par une meme grandeur c, rationelle ou irrationelle ; les quotiens a b 2 & 2, feront en mème raison que les premieres grandeurs a&b. 2 = p, & // = q, que p.q :: a. b, ou afin que la confequence foit en équation, que bp=aq. La premiere equation (Axio, 1. Coroll., 4.) donne aap, & la feconde, b=cq, d'où l'on tire (Axio. 1, Coroll, 1.) acq=bcp, ou en divifant parc, aq=bp ; donc (Th. 2. } p.q:: a, b, ou :: a .b, en remettant pour, & b pour q, leurs valeurs & -. C. Q. F. D. с On pourroit démontrer ce Theorême en cette forte, L'hypothese a b ab :: a, b, donne ( Theor. 1.) 2- = qui eft une équation évidente par elle-même. ab 2. C'eft auffi par le moyen de ce Theorême que l'on réduit les raports ou fractions à leurs plus fimples expref fions. Ce qui fe fait en divifant l'antecedent & le confequent de chaque raport par une même quantité, que l'on nomme commun divifeur, & les deux quotiens forment un autre raport, ou fraction égale à la propofée, mais plus fimple. Or if eft fouvent aifé d'apercevoir ce commun divi feur, & particulierement quand les deux termes du raport que l'on veut réduire font incomplexes. Mais fi on ne l'aperçoit pas par la feule infpection des termes, on cherchera (art. 1. n°. 56, ou 57.) tous les divifeurs de l'antecedent, & tous ceux du confequent; & les diviseurs de l'antecedent qui fe trouveront auffi parmi ceux du confequent, feront des divifeurs communs; mais on ne se fervira que du plus grand: s'il ne s'en trouve aucun parmi ceux de l'antecedent, qui fe trouve auffi parmi ceux du confequent, la fraction ne pourra être réduite à de plus fimples termes. EXEMP XEMPLE I. EXEMPLE S. fant chaque terme par leur commun divifeur a en divi =1, ce que nous avions fuppofé dans l'endroit que nous venons de citer. Vb. ce que nous avions encore fuppofé au même endroit. A THEOREME V. 34. Si l'on divife une mème quantité a, par des quantitez differentes b&c, les quotiens feront reciproquement proportionels à leurs divifeurs. Il faut prouver que .c.b, ou, ayant suppose b с b =q, que p. q: c. b, ou afin que la con fequence foit en équation, que bp = cq. La premiere fuppofition donne a = bp, & la feconde a=cq; donc (Axio. 3.) bp =cq; & partant (Theor. 2. ) a a p. q :: c. b, ou 7. c.b, en remettant pourp, & C :: pour q, leurs valeurs, & 7. C. Q. F. D. On pourroit démontrer plus fimplement ce Theorême: : car la confequence.c.b donne (Theor. 1.) с ou (art. 1. n°. 37. ) a = a, ou, a — a = 0, A THEOREME VI. 35. S 1 trois grandeurs a, b, c, font en proportion continue la premiere a, fera à la troifiéme c, comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la feconde bb. Il faut prouver que a . c :: aa. bb, c:: ou, afin que la confequence foit en équation, que aac=abb. L'on a (Hyp.) a. b :: b. ci donc ac — bb, & partant aac =abb en multipliant chaque membre par a. C. Q. F. D. A THEOREME VII. 36. LORSQUE plusieurs raports font égaux, comme a = = = = = = &c. La somme des antecedens a+c+d, b eft à la fomme des confequens b+d+e, comme celui qu'on voudra des antecedens, eft à fon confequent. Il faut prouver que a + c + d. b + d + e :: a. b, ou, afin que la confequence foit en équation, que ab+bc +bd=ab+ad+ae,ou en ôtant de part & d'autre le ter me ab qui fe détruit par la réduction, bc+bd—ad+ae. Les deux premiers raports égaux (Hyp.) donnent ad= bc, le premier & le troifiéme donnent ae=bd; donc (Axio. i. Coroll. 1. ) bc + bd=ad ✈ac, C, Q.F, D, COROLLAIRE, 37. IL fuit de ce Theorême, que connoiffant les deux premiers termes a &b, & le dernier c, d'une progreffion geometrique, on trouvera aisément la fomme de tous les termes qui la compofent: car nommant la fomme des antecedens x; la fomme des confequens fera x - a +c. Or par ce Theorême, x.x- a + c :: a. b; donc (Theor. 1.) bx=ax — aa✦ ac ; ou, en tranfpofant, & en fuppofant a >b, ax - bx =aa ac ; d'où l'on tire (Axio. 1.Cor. 5.) x= "*. Ce qu'il falloit trouver. A Si ab, ou ce qui eft la même chofe, fi la progreffion va en diminuant, & qu'on la fuppofe infinie, en faifant le dernier terme co, l'on aura x= a pour la va leur de tous les termes de la progreffion; car le terme ac le détruit à caufe de c 0, A THEOREME VIII. 38. LA plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand raport à une troisième grandeur c que la plus petite b; & la même grandeur c,a un plus grand raport à la plus petite ɓ qu'à la plus grande a. Il faut prouver, 1o. Que ~> -, 2o. Que ÷ > -. с L'on a par l'Hyp. a> b; donc (par le principe pré b cedent, & ses explications)-> en divifant cha |