V.LS

DES RENTES

A TERME,

O U

ANNUITÉS.

PROBLEME I.

Connoiffant un prêt p dont on laiffe accumuler les intérêts, &les intérêts des intérêts, trouver ce qui est dû au bout d'un tems donné.

OITb l'intérêt que rapporte un certain fonds a,* p l'argent qu'on prête actuellement, & r l'argent qui fera dû au bout de tel nombre d'années qu'on voudra, y

* Le fonds a qui rapporte la rente b, fera nommé dans la fuite le denier de l'intérêt, & b l'intérêt, quels que foient les nombres exprimés par a & b. Ainfi lorsqu'on parlera d'un intérêt à 5 pour 100, a vaudra 100, & b vaudra 5; ou bien a vaudra 20, & b vaudra 1. S'il étoit queftion d'un intérêt à 6 pour 100, a vaudroit 100, & b vaudroit 6, ou bien a vaudroit 50, & b vaudroit 3.

compris le capital, les intérêts, & les intérêts des intérêts.

A la fin de la premiere année l'on aura r = p + b = ap + b p. Si l'on veut attendre deux ans, ap+ ap+bp devient capital pendant la feconde

a

a

année, à la fin de laquelle l'on aura r=

+

r = a p + b p

a

ab p + b b p aap +2 ab p+bbp. Si l'on veut atten

a a

a a

dre troisans, aap+2ab+bbp devient capital pen

aa

dant la troisieme année, à la fin de laquelle l'on auaap+rabp+bbo aabp+2abbp+b3p_a3f+3aabp+3abbp+b3p

ra r

=px

a a

+

a3+zaab+3abb+b 3

a3

REGLE.

Ce qui montre que pour avoir la fommer qui sera due au bout de tel nombre d'années qu'on voudra, il faut multiplier la fomme prêtée p par une puissance de a+b ( denier de l'intérêt avec l'intérêt) d'autant de degrés qu'il y a d'années à attendre, & diviser le produit par une femblable puiffance du denier de l'intérêt fimple a.

EXEMPLE.

Soit la fomme prêtée p=100, le denier de l'intérêt a=20, & l'intérêt b=1, & l'on demande ce qui fera dû au bout de quatre ans.

Faites la quatrieme puissance de a+b=21,

100,

qui est 194481;* multipliez-la par p vous aurez 19448100; divifez ce produit par 160000, quatrieme puiffance de a=20, le quotient 121 liv. 11 f.o d. eft ce qui fera dû à la fin de la quatrieme année, y compris le capital, les intérêts, & les intérêts des intérêts.

Autre exemple en fe fervant des Logarithmes. Soit comme ci-devant la fomme prêtéep=100, le denier de l'intérêt a = 18, & l'intérêt b = 1; & l'on demande ce qui fera dû au bout de 15

ans.

Prenez le logarithme de a+b=19 qui eft 12787536; multipliez-le par 15, vous aurez 191813040, qui eft le logarithme de la quinzieme puiffance de 19, auquel vous ajouterez le logarithme de la fomme prêtée 100, qui est 20000000, vous aurez 211813040: prenez le logarithme de a=18, qui eft 12552725; multipliez-le auffi par 15 pour avoir 188290875 ; ôtez ce dernier produit du premier 211813040,

* L'on entend par puiffances d'un nombre quelconque les différens produits qu'on fait en multipliant ce nombre par lui-même, o fois, 1 fois, 2 fois, 3 fois, &c. Ainfi 21, par exemple, eft lui-même fa premiere puiffance; fi on le multiplie par lui-même une fois, le produit 441 eft la feconde puiffance de 21; fi on multiplie le produit 441 par 21, le produit qui en réfulte 9261, eft la troifieme puiffance de 21; multipliant 9261 par 21, le produit 194481 eft la quatrieme puiffance de 21, & ainfi des autres.

il restera 23522165, qui répond à 225, c'està-dire, à 225 liv. of. 3 d. qui eft la fomme qui fera due au bout de quinze ans; & ainfi des autres.

C'est par ce moyen que la premiere Table a été calculée; elle montre ce qui est dû au bout de tel nombre d'années qu'on veut, qui n'excede pas cinquante ans, pour un prêt de 100 livres, les intérêts étant comptés fur le pied des deniers 20, 18, 16, &c. Ainfi celui qui prête 100 livres, & qui ne reçoit rien pendant dix ans, il lui eft dû à la fin de ce tems 162 liv. 17 f. 9 d. fi les intérêts font comptés fur le pied du denier 20; & il lui feroit dû 183 liv. 7 f. 2 d. si les intérêts étoient comptés fur le pied du denier 16, & ainsi des autres.

Ayant cette Table dont le prêt eft de 100 liv. pour tous les différens deniers d'intérêt, il fera aifé par une simple Regle de trois, de trouver l'augmentation que doit avoir reçu telle autre fomme qu'on voudra, & après tel tems qu'on voudra qui n'excédera pas cinquante ans.

EXEMPLE.

L'on demande quelle augmentation aura reçu la fomme 764 livres au bout de huit ans, par les intérêts, & les intérêts des intérêts, en les comptant fur le pied du denier 16. Cherchez

dans la premiere Table à la colonne du denier 16, ce que 100 livres font devenues au bout de huit ans, vous trouverez 162 liv. 8 f. 6 d. Dites alors,

Si 100 livres deviennent 162 liv. 8 f. 6 d.

Que deviendront 764 livres.

Faifant la Régle de trois, vous trouverez qu'au bout des huit ans les 764 livres feront devenues 1240 liv. 18 f. 7 d.

Quoique la Table ne foit calculée que jusqu'à cinquante ans, il fera aisé par fon moyen de trouver ce que le prêt de roo livres fera devenu après tel autre nombre d'années qu'on voudra.

Qu'il faille, par exemple, trouver ce que Too livres feront devenues au bout de 73 ans, les intérêts étant comptés felon le denier 20.

Prenez dans la Table deux nombres d'années, dont la fomme faffe 73, par exemple, 40 & 33. Prenez dans la colonne du denier 20 les nombres correspondants à 40 ans & à 33 ans, qui font 704 liv. of. o d. & 500 liv. 6 f. 5 d. multipliezles entre'ux, & divifez le produit par 100, le quotient 3522 liv. 5 f. 2 d. eft ce que 100 livres feront devenues au bout de 73 ans.

Ceux qui connoiffent les propriétés des progreffions, fentiront aifément la raison de cette