PROBLEME III. Divifer en deux également le triangle ABC, par une ligne perpendiculaire au côté AB. Planche X. Figure 3. Yant divifé le côté AB en E, en- Pl. X. A forte que le quarré BE foit égal à Fig. 3. la moitié du rectangle fous le côté A B Démonftration. Dans les triangles femblables CDB, FEB, on a cette analogie BD, CD:: BE, EF; c'est pourquoi fi aux deux premiers termes BD, CD, on donne la hauteur commune A B, & aux deux derniers la hauteur commune BE, on aura celle-ci ABD, ABCD:: BE, BEF, où l'on voit que puifque le rectangle ABD eft double du quarré B E, il faut que le rectangle ABCD foit auffi double du rectangle B EF; & en prenant leurs moitiés, on connoîtra que le triangle R Pl. X. A B C eft double du triangle FEB. Ce Fig. 3. qu'il falloit faire & démontrer. Pour trouver le point E, divifez le fegment BD en deux également au point G, & tirez par ce point G au même fegment BD la perpendiculaire GH, qui fera terminée en H par un demi-cercle décrit à l'entour du côté A B, & il n'y aura plus qu'à faire BE égale à BH, dont le quarré ou le rectangle ABG eft bien la moitié du rectangle A B D.. Remarque. On peut de la même façon divifer le triangle donné ABC, en autant de parties égales qu'on voudra, par des lignes perpendiculaires au côté A B: comme fi on le vouloit divifer, par exemple, en trois parties égales, il faudroit premierement prendre la ligne BG, égale au tiers du fegment BD, pour avoir le quarré B E, égal au tiers du rectangle ABD, & par conféquent le triangle BEF égal au tiers du propofé A BC, Il faudroit enfuite prendre la ligne BG égale aux deux tiers du fegment BD, &c. Mais il ne faut pas que le point F tombe au-delà du point C. Divifer le triangle donné A B C en deux également par une ligne tirée du point donné D fur le côté BC. Planche X. Figure 4. A tirez Yant tiré du point donné D, à l'angle oppofé A, la droite AD, par le point E, milieu de BC, à la ligne AD la parallele EF, & menez la droite DF, qui divifera le triangle proposé ABC en deux également. Démonftration. Car fi on joint la droite A E, on connoîtra (par la 1. du 6.) que le triangle BAE eft la moitié du triangle ABC, & parce que le trapeze ABDF eft égal au triangle BAE, (comme nous avons démontré dans notre Géométrie pratiqué) il s'enfuit que le trapeze ABDF eft auffi la moitié du triangle ABC, & qu'ainfi le triangle propofé ABC fe trouve divifé en deux également par la droite DF. Ce qu'il falloit faire & démontrer. Pl. X. Fig. 4. Remarque. On peut par cette maniere divifer le triangle donné ABC en plufieurs parties égales par plufieurs lignes tirées du point D: comme fi on le vouloit divifer en trois parties égales, il faudroit faire BE égale au tiers de BC, pour avoir le trapeze ABDF égal au tiers du triangle ABC, &enfuite faire B E égale aux deux tiers de BC, &c. Mais cela fe conceyra mieux dans le problême fuivant. PROBLEME V. Divifer le triangle donné A B C en autant de parties égales que l'on voudra, par des lignes tirées du point donné D fur le côté donné B C. Planche X. Figure 5. Pl. X. Pour le divifer en trois parties éga Fig. 5. les, par exemple, divifez le côté donné BC auffi en trois parties égales aux deux points E, F; & ayant tiré la droite A D, tirez-lui par les deux points E, F, les paralleles EG, FH, pour avoir fur les côtés A B, A C les deux points G, H, par lefquels on tirera au point donné D les droites DG, DH, qui diviferont le triangle propofé ABC Pl. X. en trois parties égales. Dé monftration. Car fi on mene les droites A E, AF, on connoîtra (par 1. 6.) que chacun des deux triangles B AE, CAF, eft le tiers du triangle A BC; & parce que le triangle BAE eft égal au triangle BGD, à caufe des triangles égaux GOA, DOE, parties des triangles égaux GAE, GDE, le triangle BGD fera auffi le tiers du triangle ABC. Par un femblable raisonnement, on connoîtra que le triangle CAF eft auffi égal au triangle DHC, à caufe des deux triangles égaux A PH, DPF, parties des triangles égaux AFH, DFH, & que par conféquent le triangle DHC eft auffi le tiers du triangle ABC. D'où il fuit que le trapeze AGDH eft auffi le tiers du même triangle ABC, & qu'ainfi les deux lignes DG, DH, divisent le triangle propofé A B C en trois parties égales. Ce qu'il falloit faire & démontrer. Remarque. Si on vouloit diviser le triangle donné ABC en deux fois plus de parties, on Fig. 5. |