livres, payable dans un an, les intérêts fur le pied du denier 20: le Banquier répond qu'il lui faut 95 livres; au lieu qu'on voit par la feconde Table, qu'il devroit demander 95 livres 4 f. 9 d. ce qui fait que le Banquier paye les intérêts fur le pied du denier 19, au lieu du denier 20, felon lequel il compte les payer.

On m'objectera que c'est un usage reçu parmi les Financiers, Banquiers, &c. & que ce qu'ils perdent d'un côté en empruntant de cette maniere, ils le regagnent d'un autre en prêtant de même. Cela n'en est pas moins un usage établi par l'ignorance ou le manque d'attention. L'intention du Banquier eft d'emprunter fur le pied du denier 20; car fi on lui porte 100 livres, & qu'on lui demande un billet du capital avec les intérêts ensemble, payable dans un an, le Banquier fait le billet de 105 livres ; & fi on lui demandoit de compter les intérêts fur le pied du denier 19, il ne le feroit pas. C'est donc un usage ridicule & mal fondé, puifqu'il fait payer les intérêts fur le pied du denier 19, lorsqu'on demande que le billet foit de 100 livres, ou d'un nombre de fois roo livres; & que dans tout autre cas il ne les fait payer que fur le pied du de

nier 20.

PROBLEME III.

Connoiffant une Rente r qu'on veut recevoir à la fin de chaque année pendant un tems donné; trouver la Somme p qu'il faut prêter actuellement.

On vient de voir au Problême II. que pour recevoir r au bout d'un an, il falloit donner ac

a3r

a2+3aab + 3 a b b + b3•

aar

deux ans, il falloit donner actuellement aa+2ab+bb que pour recevoir r au bout de trois ans, il falloit prêter actuellement Celui qui veut recevoir r à la fin de chaque année pendant quelque tems, doit donc fournir autant des prêts ci-dessus. Ainfi celui qui veut recevoir r pendant deux ans, doit fournir les deux premiers prêts

ar.

a+b

&

aar

aa+2ab+b63 celui qui veut recevoir r pendant trois ans, doit fournir les trois premiers prêts

ar

aar

&

63r

a+baa+zab+b b 433+3a ab+3abbb39

&c. Si on fait

les additions des prêts ci-deffus, c'est-à-dire, des deux premiers, des trois premiers, des quatre premiers, &c. après avoir fait les réductions nécessaires, on aura p= pour recevoir r une

fois; p=

=

zaar+abr

ar

aa+2ab+bb pour recevoir r deux fois

3 a3r+za abr ✈ a b b r

P = a + 3aab+3abb + b2 pour recevoir r trois fois,

&c. Or qu'on décompofe un de ces résultats,

3a3r+3aabr+abbr

par exemple, le dernier, p=a+3aab+3abb+b3

3aa+zab+bb

; on

remarquera

aura p=arx a3+3aab+3abb+b3: & l'on que le numérateur 3 aa+3 ab+bb de la fraction qui multiplie ar, eft le quotient qui vient en divisant par b la différence 3 a ab+3 abb+b', des troifiemes puiffances de a & a+b; fi c'étoit pour quatre ans, ce seroit la différence des quatriemes puiffances de a & a+b; fi c'est pour deux ans, c'est la différence des fecondes puiffances de a & a+b, & ainsi des autres.

REGLE.

Ce qui montre que pour trouver ce qu'on doit prêter actuellement pour recevoir r pendant un nombre d'années quelconques, il faut élever a (denier de l'intérêt ) & a+b (denier de l'inté– rêt avec l'intérêt) à autant de degrés qu'il y a d'années; ôter la puissance du denier de l'intérêt fimple a, de celle du denier de l'intérêt avec l'intérêt a+b, & divifer le refte par l'intérêt b; multiplier le quotient par ar produit du denier de l'intérêt par la fomme qu'on veut recevoir tous les ans, & divifer le produit par la puissance de a+b, le quotient fera ce qu'on doit prêter pour recevoir r pendant le nombre d'années donné.

B iij

EXEMPLE.

Soit la fomme qu'on veut recevoir par an

100, le denier de l'intérêt a= 16, & l'intérêt b=1 ; & l'on demande ce qu'il faut prêter pour recevoir 100 livres par an, pendant quatre ans. Faites les quatriemes puiffances de a= =16 & de a+b=17, qui font 65536 & 83521; ôtez la premiere de la feconde pour avoir le reste 17985, qu'il faut diviser par l'intérêt b; mais parce que b=1, le reste 17985 eft lui-même le quotient: il faut le multiplier par ar=1600, produit du denier de l'intérêt 16 par la somme 100, qu'on veut recevoir annuellement; on aura pour produit 28776000, que l'on divisera par 83521, quatrieme puiffance de a+b=17; le quotient 344 liv. 10 f. 9 d. eft ce qu'on doit prêter actuellement pour recevoir 100 livres par an pendant les quatre années.

AUTRE EX E M P L E.

Soit la fomme qu'on veut recevoir par an r=100000 livres, le denier de l'intérêt a=100, & l'intérêt b=7; & l'on demande ce qu'il faut prêter pour recevoir 100000 livres par an pendant trois ans.

Faites les troifiemes puiffances de a=100, & de a+b=107, vous aurez a'= 1000000, &a+b2 = 1225043: ôtez la premiere 1000000 de la feconde 1225043, pour avoir le reste 225043, que vous diviferez par 7=b; le quotient fera 32149, que vous multiplierez par ar=10000000; & vous diviferez le produit 321490000000 par 1225043, troisieme puiffance de a+b=107; le quotient 262431, eft ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100000 livres par an pendant les trois années, les intérêts étant comptés à 7 pour 100.

On abregera de beaucoup le calcul, fi l'on opere par les logarithmes: ce que j'en ai dit aux deux Problêmes précédens, fuffit pour ceux qui connoiffent les admirables propriétés de ces nombres; & ce n'eft pas ici le lieu de m'étendre fuffifamment pour ceux qui n'en fçavent pas les usages: ceux qui voudront les connoître, pourront voir ce que j'en ai dit dans mon Traité de Trigonométrie, ou dans les autres Livres qui

en traitent.

La premiere page de la troifieme Table, montre ce qu'il faut prêter actuellement pour recevoir 100 livres par an, pendant tel nombre d'années qu'on voudra qui n'excede pas 100 ans,